数学｜为什么无穷个无穷小之积不一定是无穷小

19世纪70年代，德国数学家维尔斯特拉斯严格定义极限概念后，无穷小也有了准确的定义，并一直沿用至今。现在我们的数学分析或者高等数学课本中，无穷小的定义为：

我们单纯从无穷小的定义来看，有两点需要特别注意：

由无穷小的定义可以推出，关于“有限个无穷小的和差积运算”与“无穷个无穷小的和差积运算”的 4 个性质：

大多数的小伙伴，对上述性质摸不着头脑，似懂非懂，云里雾里。今天的这篇文章，我们主要讲述这 4 个性质。

“有限个无穷小之和仍然是无穷小”以及“有限个无穷小之积仍然是无穷小”比较容易理解，但“无穷个无穷小之和不一定是无穷小”以及“无穷个无穷小之积不一定是无穷小”是为什么呢？

上面这段话直观理解看上去似乎有道理，但我们不能仅仅停留在直观理解上。对于数学而言，需要严格证明，这恰恰是数学的魅力所在。

有限个无穷小之和仍是无穷小

有限个无穷小之积仍是无穷小

无穷个无穷小之积不一定是无穷小

即，无穷多个无穷小的乘积不一定是无穷小。

现实中，我们之所以无法直观理解“无穷多个无穷小的乘积（和）不一定是无穷小”这个结论，主要原因在于：

有限与无穷的区别

从一到无穷不仅是量的变化，更重要的是质变。从某种意义上讲，无穷是经典数学与现代数学的一个分水岭。

今天向大家推送一本书《从一到无穷大：科学中的事实和臆测》，这是一本属于“通才教育”的科普书，内容涉及自然科学的方方面面。但与其它常见的按主题分类来写作的科普著作不同，作者以一个个故事打头和串联，把数学、物理乃至生物学的许多内容有机地融合在一起，不知不觉间将一些最重大或者最有用的理科知识甚至技巧信手拈来，让人在妙趣横生、恍然大悟以及莞尔一笑中意犹未尽地概览了自然科学的基本成就和前沿进展。而且，作者并非刻意追求“乐此不疲”的阅读效果。