无穷小量是否为零？

无穷小量，这个概念无疑困扰着一代又一代受过现代数学训练的同胞们。这是很自然的事情，因为它可以让人从直觉上意识得到，却又难于精确地把握：无穷小是什么？是不是可以精确定义的数学概念？它是一个数？还是一段长度？能不能对无穷小做计算？诸如此类等等。由于这个概念几乎天然的和各种哲学式的思辨联系在一起，使得甚至哲学家们也对它颇为关注。

关于无穷小的讨论者，最著名的大概莫过于莱布尼茨，他花了大把的精力试图精确阐述无穷小的概念，并以此作为整个微积分学的基石。在莱布尼茨看来，无穷小是一个比任何数都小但是不等于零的量，对它可以做四则运算，尤为关键的是可以做除法：两个相关的无穷小量的比值就是一个函数的导数。以此为基本语言，他开始建立微积分学的基本理论，算是基本上成功了。直至今天，数学家采用的关于微分的记号仍然来自莱布尼茨，而数学学科内部关于微积分学的专门称呼—“分析学”—也来自于莱布尼茨自己对他的理论的叫法—“无穷小分析”。

可是，也许你想不到的一件吊诡的事情是：尽管莱布尼茨在微积分学的建立过程里做出如此重要的贡献，他的思想的基石——无穷小量——却是一个在今天的数学语言里被完全抛弃了的概念。

时至今日，这个词尽管在很多数学书里仍然会出现，但是这时它仅仅作为一个纯粹修辞上的词汇而不是严格的数学概念，人们通常用它来指代“极限为零的变量”，也有的时候它被用来作为对微积分运算中的某些符号的称呼，但是无论何时，人们在使用它的时候都明确的知道自己想说什么，更关键的是，人们知道自己并不需要它，而只是偶尔像借助一个比喻一样借助它罢了。

时光得回到17世纪，当莱布尼兹基于无穷小建立微积分理论之后，人们发现，这个词汇除了带来混乱之外并没有什么特别的用处。于是作为一种语言，它被丢弃了。事实上，即使在莱布尼茨的同时期人看来，无穷小也是一个有点让人不舒服的词：比任何大于零的数都小，却不是零。

我们当然可以把它仅仅作为一种人为的逻辑概念来使用，可是这样一个怪东西的存在，既使得数学的基本对象——实数的结构变得混乱，也在很多场合带来了麻烦的难于回答的问题（尽管它也确实带来了不少方便）。更为重要的是，无穷小量的概念违背了阿基米德公理。我们先跑偏几步，来看看阿基米德公理是何许人也。

阿基米德公理又称为“阿基米德性质”，其定义为：对任一正数，有自然数满足。那么无穷小量代表的“比任何大于零的数都小，却不是零”，不就是说明，“不存在自然数满足”吗？阿基米德原理是一个关于实数性质的基本原理，如果阿基米德原理是错的，整个数学大概都无法得以建立。这也是无穷小量被人诟病的一大重要原因。

在分析学蓬勃发展的十八世纪，一代又一代数学大师为此争论不休，大家混乱而各行其是地使用这个词，却没人能说清楚它的精确含义。终于从十九世纪初期开始，以柯西（Cauchy）和魏尔斯特拉斯（Weierstrass）为代表的一大批数学家开始为微积分学的严密化做出了大量的工作，他们试图在完全不采用“无穷小量”这个概念的前提下重新建立整个微积分学，而是以“极限”这个概念作为微积分的基础，这也是我们现在高等数学课本中一直采用的。

那么，回到这个词最本源的意义：到底有没有这样一个量，比一切给定的正实数都小却又不是零？或者这个问题还有一系列等价的提法：在直线上存不存在两个“相邻”的点，其距离比任何正实数都要小？存不存在“长度”的最小构成单位？

在今天我们已经能够确定无疑的回答这些问题了：不，不存在。是不是数学家说无穷小量不存在，这个词就没意义了呢？这又回到了前面我们屡次面对的那个关于数学断言的权威性的问题。如果承认无穷小是一个有关数的概念，那么，数学家的工作已经告诉我们，在实数理论中没有无穷小的位置。只不过现在我们从高等数学老师那里听到的，只是老师们为了表述方便，但正是因为这样，也增加了误导我们的概率。

资料来源：

https://www.zhihu.com/question/20454375/answer/21666752

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