数学｜微积分、高等数学与数学分析的区别与联系

微积分、高等数学和数学分析，这三个词对于绝大多数理工科专业的学生来说，是比较熟悉的，毕竟曾经被折磨得一塌糊涂。最近浙江大学的苏德矿教授（江湖人称“矿爷”）微博直播微积分，成为了网红；在矿爷的经典语录中，“从前有棵树，叫高数，上面挂了很多人；旁边有座坟，叫微积分，里面葬了很多人”这句流传甚广，其经典之处在于生动地描绘出了高等数学和微积分的难度。

同一所学校同一级的同学，有些学习的课程是高等数学，而有些是数学分析。微积分、高等数学和数学分析，它们之前到底有什么联系和区别呢？今天的这篇文章，希望可以为你解答些许的疑惑。

微积分：两种运算+两个概念+一个定理

我们首先来聊微积分，一方面因为它作为课程，既是高等数学的核心内容，又是数学分析的核心内容，另一方面它是数学的工具，尤其是高等数学的基础工具。

1. 微积分的知识机构

微积分的知识结构非常清晰，主要内容就是要说清两件事：第一，介绍求导与求不定积分两种运算，并且说明它们互为逆运算；第二，介绍基础的微分学和积分学，并且给出它们之间的联系——牛顿莱布尼兹公式。求导与求不定积分两种运算，均属于微分学，尤其要强调的是不定积分，虽然带有“积分”二字，但它作为求导的逆运算，属于微分学，而不属于积分学，真正属于积分学的是黎曼定积分（即我们常说的定积分）。

2. 不定积分与定积分的区别

不定积分与定积分虽然在字面上只差一字，但从数学定义来看却有本质的区别，不定积分是找一个函数的原函数，它的几何意义是原函数的图象，即一条曲线；而定积分是求黎曼和的极限，它的几何意义是面积，即一个数值。它们之间毫无关系，既存在着没有原函数但可积的函数，也存在着有原函数但不可积的函数。

3. 微分学与积分学的桥梁

无论如何牛顿莱布尼兹公式好比一座桥梁，沟通了不定积分（微分学）和定积分（积分学），这也是牛顿莱布尼兹公式被称为微积分基本定理的原因。我相信尽管很多人不愿意再看到下面这个公式，但它真得很经典~

因此，我们可以看出，微积分的核心内容就是学习两种新运算，了解两样新概念，熟悉一条基本定理而已。

高等数学：微积分+空间解析几何+常微分方程

微积分依然是高等数学的核心内容，国内高等数学主要是为非数学专业的理工科学生开设的，主要的目的是解决工程上遇到的一些问题，例如求体积、求周长，求速度等等。所以高等数学除了要介绍数学知识，更要学生理解各个数学概念的实际意义是什么，比如求导可以理解为求瞬时速度，可以理解求增长律，积分可以理解为求面积，求功等等。对于实际问题，数据往往是复杂的，算式也往往是冗长的；对于不容易积分、不容易求导的实际问题，我们怎么去求其高精度的近似解呢？那么就需要引进级数这一概念，例如将不易找到原函数的函数进行泰勒展开再逐项积分，再例如利用牛顿差值法计算方程的近似解。

在这些问题中最令人苦恼的往往都是复杂的计算，因此高等数学对学生的计算能力要求非常高。高等数学的主要内容就是三条：理解数学概念背后的实际含义；熟练运用数学工具求导求积分；会使用一些手段对实际问题进行精确估计。这些可以看作是对微积分的运用，但一切仍然停留在对运算理解上。

只可惜的是，国内某些高校的高等数学老师，并不能给学生讲清楚数学概念背后的物理或者几何意义，而更多地让学生记住定理和公式，遇到题目时，会计算就好了。这就导致了学生学完高等数学后，无法搭建起完整的知识框架，领悟不到书本章节间内容的紧密联系。

数学分析：学习研究复杂函数的方法

数学分析作为数学系本科生的基础课是整个分析学的基础，与微积分、高等数学有着本质的区别。

什么是分析学？是分析变量以及诸多变量之间关系的学科，在数学中主要利用函数来刻画变量与变量间的关系，所以数学分析的研究主体应当是函数。在中学，我们已经学习过六类简单初等函数（常指对幂，正反三角），并且学习过一些研究初等函数的手段，但这些函数都是极其特殊的，比如他们都是逐段连续的，并且是无穷阶可导的。

学习数学分析的目的就是将函数系进行大范围扩张，去学习并且研究那些解析式不规则、不连续或者不可导的函数，这样的函数比起连续的函数可以说要多无穷多倍。那用什么方式去刻画这样的函数呢？数学分析中介绍的方法主要有两个：含参变量积分与函数项级数。特别的，所有的初等函数都可以表示为函数项级数，但函数项级数要比初等函数的范围大很多很多，我们可以利用它构造各种千奇百怪的函数，例如处处不可导的连续函数，在有界区间内图像长度为无穷大的函数等等。这些函数的表示要比初等函数复杂很多，研究其变化性质就会变得困难得多，对此我们需要学习一些系统的定理与方法，将这些知识组合在一起就构成了数学分析这门学科。

因此说，与微积分、高等数学有明显的区分，学数学分析的目的不是学习导数或者积分这样的运算，而是要扩大函数范围，学习研究复杂函数的方法。

本文参考资料
知乎ID：大少工作室
微博：浙江大学苏德矿

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