求积分方法之对偶法

对偶法是数学技巧之一，其思想是构造一个对偶式，然后利用对偶式进行和差积运算，进行化简。我们知道，求积分，不管是不定积分还是定积分都是技术活，对于某些形式，可以考虑施展对偶法。这里举两个例子，简单介绍一下对偶法的应用。当然，目前我能找到用对偶法的问题比较少，毕竟对偶法更常用于高中数学竞赛的解题。

例1：求\(\int{\frac{\sin x}{\cos x+\sin x}}dx\)

注意到这个式子的特征，令\(I=\int{\frac{\sin x}{\cos x+\sin x}}dx\),构造对偶式\(J=\int{\frac{\cos x}{\cos x+\sin x}}dx\).

则\(I+J=\int1dx=x+C_1\)

\(J-I=\int\frac{\cos x-\sin x}{\cos x+\sin x}dx=\int\frac1{\cos x+\sin x }d(\cos x+\sin x)\\ =\ln|\cos x+\sin x|+C_2\)

\(\therefore I=\frac{(I+J)-(J-I)}2=x-\ln|\cos x+\sin x|+C\)

例2：求\(\int e^x\sin^2xdx\)

考虑构造对称式，令\(I=\int e^x\sin^2xdx\),\(J=\int e^x\cos^2xdx\).

则\(I+J=\int e^xdx=e^x+C_!\)

\(J-I=\int e^x(\cos^2x-\sin^2x)dx=\int e^x\cos2xdx =e^x\cos2x+2\int e^x\sin 2x dx\\ =e^x\cos2x+2(e^x\sin2x-2\int e^x\cos 2xdx)\\=\frac{e^x\cos2x+2e^x\sin2x}5+C_2\)

\(\therefore I=\frac{(I+J)-(J-I)}2=\frac1 {10}e^x(5-\cos2x-2\sin2x)+C\)