求积分方法之对偶法

  • 积分
高航·浙江大学
2016-08-10
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对偶法是数学技巧之一,其思想是构造一个对偶式,然后利用对偶式进行和差积运算,进行化简。我们知道,求积分,不管是不定积分还是定积分都是技术活,对于某些形式,可以考虑施展对偶法。这里举两个例子,简单介绍一下对偶法的应用。当然,目前我能找到用对偶法的问题比较少,毕竟对偶法更常用于高中数学竞赛的解题。

例1:求sinxcosx+sinxdx

注意到这个式子的特征,令I=sinxcosx+sinxdx,构造对偶式J=cosxcosx+sinxdx.

I+J=1dx=x+C1

JI=cosxsinxcosx+sinxdx=1cosx+sinxd(cosx+sinx)=ln|cosx+sinx|+C2

I=(I+J)(JI)2=xln|cosx+sinx|+C

例2:求exsin2xdx

考虑构造对称式,令I=exsin2xdx,J=excos2xdx.

I+J=exdx=ex+C!

JI=ex(cos2xsin2x)dx=excos2xdx=excos2x+2exsin2xdx=excos2x+2(exsin2x2excos2xdx)=excos2x+2exsin2x5+C2

I=(I+J)(JI)2=110ex(5cos2x2sin2x)+C

 

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