关于反函数的一些结论

关于反函数的介绍比较少，教材中很少有介绍关于反函数的结论，只是介绍了求反函数的导数的方法。对于反函数的二阶导数及原函数没有提及。这里主要介绍反函数的二阶导数和原函数，以及利用后面的结论求反三角函数原函数的应用。

一、反函数的二阶导数

设函数\(y=y(x)\)二阶可导，且具有反函数\(x=x(y)\)，求反函数的二阶导数\({d^2x}\over{dy^2}\).

解：\({dx\over dy}=\frac1{\frac{dy}{dx}}=\frac1{y'}\)

两边对\(x \)求导，得\(\frac{d^2y}{dx^2}=-\frac{\frac{d^2x}{dy^2}\cdot\frac{dy}{dx}}{(\frac{dx}{dy})^2}=-\frac{\frac{d^2x}{dy^2}}{(\frac{dx}{dy})^3}\)

于是\(\frac{d^2x}{dy^2}=-(\frac{dx}{dy})^3\cdot\frac{d^2y}{dx^2}=-\left(\frac1{\frac{dy}{dx}}\right)^3\frac{d^2y}{dx^2}=-\frac{y''}{y'^3}\)

这就是反函数的二阶导数公式，使用并不多因此教材少见。不过可以通过推导过程来练习隐函数求导数的方法。

二、反函数的不定积分

设\(f(x)\)有反函数，\(\int f(x)dx=F(x)+C\).求\(\int f^{-1}(x)dx\).

利用换元积分法和分部积分法，令\(x=f(y)\),\(\int f^{-1}(x)dx=\int f^{-1}(f(y))df(y)=\int yf'(y)dy\\=yf(y)-\int f(y)dy=yf(y)-F(y)+C=xf^{-1}(x)-F[f^{-1}(x)]+C.\)

这样我们就得到了反函数的不定积分公式：

\(\int f^{-1}(x)dx=xf^{-1}(x)-F[f^{-1}(x)]+C.\)

记忆的时候，可以按照分部积分法来记忆。

利用这个公式可以解决一些反函数求不定积分的问题。

例1：\(\int\arcsin xdx\)

\(y=\arcsin x\)是\(y=\sin x(-\frac\pi2\leq x\leq\frac\pi2)\)的反函数，而\(\sin x\)的原函数是\(-\cos x\),因而有：

\(\int\arcsin xdx=x\arcsin x+\cos(\arcsin x)+C\),而\(-\frac\pi2\leq\arcsin x\leq\frac\pi2\),因此\(\cos(\arcsin x)=\sqrt{1-x^2}\).

故可得\(\int\arcsin xdx=x\arcsin x+\sqrt{1-x^2}+C\)

例2：\(\int\arccos xdx\)

\(y=\arccos x\)是\(y=\cos x(0\leq x\leq\pi)\)的反函数，而\(\cos x\)的原函数是\(\sin x\)，因而有：

\(\int\arccos xdx=x\arccos x-\sin(\arccos x)+C=x\arccos x-\sqrt{1-x^2}+C\).

可见，此方法在求反函数的不定积分时还是相当不错的。