求数列的极限是高等数学很重要的一种计算题型。本文通过举例分享求数列极限的方法。
例1:求极限limn→∞sin(π√n2+1)
分析:这道题目很多辅导书上都有,难住了很多同学。如果把n改成x,作为函数的极限,是不存在的。因为√n2+1和n“很接近”,感觉上极限很像是0.这种感觉正好也给我们解决问题的思路,即通过诱导公式,括号内变成π(√n2+1−√n),再看看能否通过分子有理化得到结果。所以说,如果能把“感觉”融入思路,那么就可以找到解法。
解:limn→∞sin(π√n2+1)=limn→∞(−1)nsin(π√n2+1−nπ)=limn→∞(−1)nsin[π(√n2+1−n)]=limn→∞(−1)nsinπ√n2+1+n
∵limn→∞sinπ√n2+1+n=0∴limn→∞sin(π√n2+1)=limn→∞(−1)nsinπ√n2+1+n=0(注:有界量乘无穷小是无穷小)
这类题目直接做无法下手但是可以通过代数变形化成特殊极限,所以解这种难题代数变形的基本功是很重要的,一定要多练习。
例2:第三届全国大学生数学竞赛预赛(非数学组)
设an=cosθ2cosθ22…cosθ2n,求limn→∞an
分析:显然θ=0时an=1,数列的极限是1.其他情况,化简an是当务之急。观察到角的关系,可以想到引入一个sinθ2n,就可以接连使用二倍角公式了。
解:显然θ=0时an=1,limn→∞an=1.θ≠0时,
an=cosθ2cosθ22…cosθ2nsinθ2n1sinθ2n=12cosθ2cosθ22…cosθ2n−1sinθ2n−11sinθ2n=…=sinθ2nsinθ2n
∴limn→∞an=limn→∞sinθ2nsinθ2n=limn→∞sinθ2nθ2n=sinθθ
例3:第四届全国大学生数学竞赛预赛(非数学组)
求极限limn→∞(n!)1n2
分析:这里是“幂指型”,先对数列通项取对数,得到1n2ln(n!),考虑求limn→∞1n2ln(n!),ln(n!)=ln2+ln3+…+lnn,可以用定积分形式放缩。
解:ln(n!)1n2=1n2ln(n!)=ln2+ln3+…+lnnn2<∫n+12lnxdxn2=(n+1)ln(n+1)−n−2ln2+1n2
∵limn→∞(n+1)ln(n+1)−n−2ln2+1n2=0
∴limx→∞1n2ln(n!)=0,∴limn→∞(n!)1n2=elimn→∞1n2ln(n!)=e0=1
当然本题目也可以不适用定积分进行放缩,读者可以自己展开思路哦!
例4:求极限limn→∞1⋅3⋯(2n−1)2⋅4⋯(2n)
分析:这里凭直觉猜测极限为0,这种情况下采用“夹逼原理”,将通项合理放缩,成一个明显可以看出极限为0的形式。发现下面2刚好是1和3的平均数,4刚好是3和5的平均数,以此类推,考虑用基本不等式放缩。
解:2=1+32>√1⋅3,4=3+52>√3⋅5,⋯,2n=(2n−1)+(2n+1)2>√(2n−1)(2n+1)
∴1⋅3⋯(2n−1)2⋅4⋯(2n)<1⋅3⋯(2n−1)√1⋅3√3⋅5⋯√(2n−1)(2n+1)=1√2n+1
∵limn→∞1√2n+1=0,∴limn→∞1⋅3⋯(2n−1)2⋅4⋯(2n)=0
难处理的数列极限求解,如果我们能够大致猜出极限,可以考虑使用“夹逼原理”进行证明。
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