求数列极限的难题赏析(一)

  • 数列极限
高航·浙江大学
2016-07-29
阅读数24991

求数列的极限是高等数学很重要的一种计算题型。本文通过举例分享求数列极限的方法。

例1:求极限limnsin(πn2+1)

分析:这道题目很多辅导书上都有,难住了很多同学。如果把n改成x,作为函数的极限,是不存在的。因为n2+1n“很接近”,感觉上极限很像是0.这种感觉正好也给我们解决问题的思路,即通过诱导公式,括号内变成π(n2+1n),再看看能否通过分子有理化得到结果。所以说,如果能把“感觉”融入思路,那么就可以找到解法。

解:limnsin(πn2+1)=limn(1)nsin(πn2+1nπ)=limn(1)nsin[π(n2+1n)]=limn(1)nsinπn2+1+n

limnsinπn2+1+n=0limnsin(πn2+1)=limn(1)nsinπn2+1+n=0(注:有界量乘无穷小是无穷小)

这类题目直接做无法下手但是可以通过代数变形化成特殊极限,所以解这种难题代数变形的基本功是很重要的,一定要多练习。

例2:第三届全国大学生数学竞赛预赛(非数学组)

an=cosθ2cosθ22cosθ2n,求limnan

分析:显然θ=0an=1,数列的极限是1.其他情况,化简an是当务之急。观察到角的关系,可以想到引入一个sinθ2n,就可以接连使用二倍角公式了。

解:显然θ=0an=1limnan=1.θ0时,

an=cosθ2cosθ22cosθ2nsinθ2n1sinθ2n=12cosθ2cosθ22cosθ2n1sinθ2n11sinθ2n==sinθ2nsinθ2n

limnan=limnsinθ2nsinθ2n=limnsinθ2nθ2n=sinθθ

例3:第四届全国大学生数学竞赛预赛(非数学组)

求极限limn(n!)1n2

分析:这里是“幂指型”,先对数列通项取对数,得到1n2ln(n!),考虑求limn1n2ln(n!)ln(n!)=ln2+ln3++lnn,可以用定积分形式放缩。

解:ln(n!)1n2=1n2ln(n!)=ln2+ln3++lnnn2<n+12lnxdxn2=(n+1)ln(n+1)n2ln2+1n2

limn(n+1)ln(n+1)n2ln2+1n2=0

limx1n2ln(n!)=0,limn(n!)1n2=elimn1n2ln(n!)=e0=1

当然本题目也可以不适用定积分进行放缩,读者可以自己展开思路哦!

例4:求极限limn13(2n1)24(2n)

分析:这里凭直觉猜测极限为0,这种情况下采用“夹逼原理”,将通项合理放缩,成一个明显可以看出极限为0的形式。发现下面2刚好是1和3的平均数,4刚好是3和5的平均数,以此类推,考虑用基本不等式放缩。

解:2=1+32>13,4=3+52>35,,2n=(2n1)+(2n+1)2>(2n1)(2n+1)

13(2n1)24(2n)<13(2n1)1335(2n1)(2n+1)=12n+1

limn12n+1=0,limn13(2n1)24(2n)=0

难处理的数列极限求解,如果我们能够大致猜出极限,可以考虑使用“夹逼原理”进行证明。

本文由 高航 授权 赛氪网 发表,并经赛氪网编辑。转载此文章须经作者同意,并请附上出处(赛氪网)及本页链接。原文链接https://www.saikr.com/a/2759
收藏
分享
别默默的看了,快来和大家聊聊吧,登录后发表评论~ 登录 立即注册
打赏
高航
打赏金额(金额:¥0)
给Ta留言
赏金已入袋,多谢!(*^__^*)
赛乐云AI 证书查询 赛氪APP全新升级

下载赛氪APP

参加有趣活动,获得赛程提醒

分享大学生活,获得前辈指点

意见反馈

产品建议、功能吐槽、使用问题…

欢迎提出关于赛氪网的问题和建议 :)

微信公众号
关注赛氪订阅号
微信服务号
关注赛氪服务号
温馨提示

非常抱歉!本站不支持旧版本IE浏览器~~建议使用IE10/IE11/Chrome/Firefox/Safari等高级浏览器浏览。

温馨提示
温馨提示
帮助与反馈

热门问题