数学|微积分、高等数学与数学分析的区别与联系

  • 数学
  • 考研保研
赛氪考研·中国科学院大学
258 天前
阅读数576

 

微积分、高等数学和数学分析,这三个词对于绝大多数理工科专业的学生来说,是比较熟悉的,毕竟曾经被折磨得一塌糊涂。最近浙江大学的苏德矿教授(江湖人称“矿爷”)微博直播微积分,成为了网红;在矿爷的经典语录中,“从前有棵树,叫高数,上面挂了很多人;旁边有座坟,叫微积分,里面葬了很多人”这句流传甚广,其经典之处在于生动地描绘出了高等数学和微积分的难度。

 

 

 

同一所学校同一级的同学,有些学习的课程是高等数学,而有些是数学分析。微积分、高等数学和数学分析,它们之前到底有什么联系和区别呢?今天的这篇文章,希望可以为你解答些许的疑惑。

 

微积分:两种运算+两个概念+一个定理

 

我们首先来聊微积分,一方面因为它作为课程,既是高等数学的核心内容,又是数学分析的核心内容,另一方面它是数学的工具,尤其是高等数学的基础工具。

 

1. 微积分的知识机构

 

微积分的知识结构非常清晰,主要内容就是要说清两件事:第一,介绍求导与求不定积分两种运算,并且说明它们互为逆运算;第二,介绍基础的微分学和积分学,并且给出它们之间的联系——牛顿莱布尼兹公式。求导与求不定积分两种运算,均属于微分学,尤其要强调的是不定积分,虽然带有“积分”二字,但它作为求导的逆运算,属于微分学,而不属于积分学,真正属于积分学的是黎曼定积分(即我们常说的定积分)。

 

2. 不定积分与定积分的区别

 

不定积分与定积分虽然在字面上只差一字,但从数学定义来看却有本质的区别,不定积分是找一个函数的原函数,它的几何意义是原函数的图象,即一条曲线;而定积分是求黎曼和的极限,它的几何意义是面积,即一个数值。它们之间毫无关系,既存在着没有原函数但可积的函数,也存在着有原函数但不可积的函数。

 

3. 微分学与积分学的桥梁

 

无论如何牛顿莱布尼兹公式好比一座桥梁,沟通了不定积分(微分学)和定积分(积分学),这也是牛顿莱布尼兹公式被称为微积分基本定理的原因。我相信尽管很多人不愿意再看到下面这个公式,但它真得很经典~

 

 

因此,我们可以看出,微积分的核心内容就是学习两种新运算,了解两样新概念,熟悉一条基本定理而已。

 

高等数学:微积分+空间解析几何+常微分方程

 

微积分依然是高等数学的核心内容,国内高等数学主要是为非数学专业的理工科学生开设的,主要的目的是解决工程上遇到的一些问题,例如求体积、求周长,求速度等等。所以高等数学除了要介绍数学知识,更要学生理解各个数学概念的实际意义是什么,比如求导可以理解为求瞬时速度,可以理解求增长律,积分可以理解为求面积,求功等等。对于实际问题,数据往往是复杂的,算式也往往是冗长的;对于不容易积分、不容易求导的实际问题,我们怎么去求其高精度的近似解呢?那么就需要引进级数这一概念,例如将不易找到原函数的函数进行泰勒展开再逐项积分,再例如利用牛顿差值法计算方程的近似解。

 

在这些问题中最令人苦恼的往往都是复杂的计算,因此高等数学对学生的计算能力要求非常高。高等数学的主要内容就是三条:理解数学概念背后的实际含义;熟练运用数学工具求导求积分;会使用一些手段对实际问题进行精确估计。这些可以看作是对微积分的运用,但一切仍然停留在对运算理解上。

 

只可惜的是,国内某些高校的高等数学老师,并不能给学生讲清楚数学概念背后的物理或者几何意义,而更多地让学生记住定理和公式,遇到题目时,会计算就好了。这就导致了学生学完高等数学后,无法搭建起完整的知识框架,领悟不到书本章节间内容的紧密联系。

 

数学分析:学习研究复杂函数的方法

 

数学分析作为数学系本科生的基础课是整个分析学的基础,与微积分、高等数学有着本质的区别。

 

什么是分析学?是分析变量以及诸多变量之间关系的学科,在数学中主要利用函数来刻画变量与变量间的关系,所以数学分析的研究主体应当是函数。在中学,我们已经学习过六类简单初等函数(常指对幂,正反三角),并且学习过一些研究初等函数的手段,但这些函数都是极其特殊的,比如他们都是逐段连续的,并且是无穷阶可导的。

 

学习数学分析的目的就是将函数系进行大范围扩张,去学习并且研究那些解析式不规则、不连续或者不可导的函数,这样的函数比起连续的函数可以说要多无穷多倍。那用什么方式去刻画这样的函数呢?数学分析中介绍的方法主要有两个:含参变量积分与函数项级数。特别的,所有的初等函数都可以表示为函数项级数,但函数项级数要比初等函数的范围大很多很多,我们可以利用它构造各种千奇百怪的函数,例如处处不可导的连续函数,在有界区间内图像长度为无穷大的函数等等。这些函数的表示要比初等函数复杂很多,研究其变化性质就会变得困难得多,对此我们需要学习一些系统的定理与方法,将这些知识组合在一起就构成了数学分析这门学科。

 

因此说,与微积分、高等数学有明显的区分,学数学分析的目的不是学习导数或者积分这样的运算,而是要扩大函数范围,学习研究复杂函数的方法。

 

本文参考资料
知乎ID:大少工作室
微博:浙江大学苏德矿

 

END -

赛氪考研原创,转载请注明出处。

 

 

本文由 赛氪考研 授权 赛氪网 发表,并经赛氪网编辑。转载此文章须经作者同意,并请附上出处(赛氪网)及本页链接。原文链接https://www.saikr.com/a/2952
收藏
分享
别默默的看了,快来和大家聊聊吧,登录后发表评论~ 登录 立即注册
打赏
赛氪考研
打赏金额(金额:¥0)
给Ta留言
赏金已入袋,多谢!(*^__^*)
温馨提示

非常抱歉!本站不支持旧版本IE浏览器~~建议使用IE10/IE11/Chrome/Firefox/Safari等高级浏览器浏览。

温馨提示
温馨提示
帮助与反馈

热门问题