关于反函数的一些结论

  • 反函数
高航·浙江大学
2016-08-09
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关于反函数的介绍比较少,教材中很少有介绍关于反函数的结论,只是介绍了求反函数的导数的方法。对于反函数的二阶导数及原函数没有提及。这里主要介绍反函数的二阶导数和原函数,以及利用后面的结论求反三角函数原函数的应用。

一、反函数的二阶导数

设函数\(y=y(x)\)二阶可导,且具有反函数\(x=x(y)\),求反函数的二阶导数\({d^2x}\over{dy^2}\).

解:\({dx\over dy}=\frac1{\frac{dy}{dx}}=\frac1{y'}\)

两边对\(x \)求导,得\(\frac{d^2y}{dx^2}=-\frac{\frac{d^2x}{dy^2}\cdot\frac{dy}{dx}}{(\frac{dx}{dy})^2}=-\frac{\frac{d^2x}{dy^2}}{(\frac{dx}{dy})^3}\)

于是\(\frac{d^2x}{dy^2}=-(\frac{dx}{dy})^3\cdot\frac{d^2y}{dx^2}=-\left(\frac1{\frac{dy}{dx}}\right)^3\frac{d^2y}{dx^2}=-\frac{y''}{y'^3}\)

这就是反函数的二阶导数公式,使用并不多因此教材少见。不过可以通过推导过程来练习隐函数求导数的方法。

二、反函数的不定积分

\(f(x)\)有反函数,\(\int f(x)dx=F(x)+C\).求\(\int f^{-1}(x)dx\).

利用换元积分法和分部积分法,令\(x=f(y)\),\(\int f^{-1}(x)dx=\int f^{-1}(f(y))df(y)=\int yf'(y)dy\\=yf(y)-\int f(y)dy=yf(y)-F(y)+C=xf^{-1}(x)-F[f^{-1}(x)]+C.\)

这样我们就得到了反函数的不定积分公式:

\(\int f^{-1}(x)dx=xf^{-1}(x)-F[f^{-1}(x)]+C.\)

记忆的时候,可以按照分部积分法来记忆。

利用这个公式可以解决一些反函数求不定积分的问题。

例1:\(\int\arcsin xdx\)

\(y=\arcsin x\)\(y=\sin x(-\frac\pi2\leq x\leq\frac\pi2)\)的反函数,而\(\sin x\)的原函数是\(-\cos x\),因而有:

\(\int\arcsin xdx=x\arcsin x+\cos(\arcsin x)+C\),而\(-\frac\pi2\leq\arcsin x\leq\frac\pi2\),因此\(\cos(\arcsin x)=\sqrt{1-x^2}\).

故可得\(\int\arcsin xdx=x\arcsin x+\sqrt{1-x^2}+C\)

例2:\(\int\arccos xdx\)

\(y=\arccos x\)\(y=\cos x(0\leq x\leq\pi)\)的反函数,而\(\cos x\)的原函数是\(\sin x\),因而有:

\(\int\arccos xdx=x\arccos x-\sin(\arccos x)+C=x\arccos x-\sqrt{1-x^2}+C\).

可见,此方法在求反函数的不定积分时还是相当不错的。

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