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关于反函数的一些结论

  • 反函数
高航·浙江大学
2016-08-09
阅读数8349

关于反函数的介绍比较少,教材中很少有介绍关于反函数的结论,只是介绍了求反函数的导数的方法。对于反函数的二阶导数及原函数没有提及。这里主要介绍反函数的二阶导数和原函数,以及利用后面的结论求反三角函数原函数的应用。

一、反函数的二阶导数

设函数y=y(x)二阶可导,且具有反函数x=x(y),求反函数的二阶导数d2xdy2.

解:dxdy=1dydx=1y

两边对x求导,得d2ydx2=d2xdy2dydx(dxdy)2=d2xdy2(dxdy)3

于是d2xdy2=(dxdy)3d2ydx2=(1dydx)3d2ydx2=yy3

这就是反函数的二阶导数公式,使用并不多因此教材少见。不过可以通过推导过程来练习隐函数求导数的方法。

二、反函数的不定积分

f(x)有反函数,f(x)dx=F(x)+C.求f1(x)dx.

利用换元积分法和分部积分法,令x=f(y),f1(x)dx=f1(f(y))df(y)=yf(y)dy=yf(y)f(y)dy=yf(y)F(y)+C=xf1(x)F[f1(x)]+C.

这样我们就得到了反函数的不定积分公式:

f1(x)dx=xf1(x)F[f1(x)]+C.

记忆的时候,可以按照分部积分法来记忆。

利用这个公式可以解决一些反函数求不定积分的问题。

例1:arcsinxdx

y=arcsinxy=sinx(π2xπ2)的反函数,而sinx的原函数是cosx,因而有:

arcsinxdx=xarcsinx+cos(arcsinx)+C,而π2arcsinxπ2,因此cos(arcsinx)=1x2.

故可得arcsinxdx=xarcsinx+1x2+C

例2:arccosxdx

y=arccosxy=cosx(0xπ)的反函数,而cosx的原函数是sinx,因而有:

arccosxdx=xarccosxsin(arccosx)+C=xarccosx1x2+C.

可见,此方法在求反函数的不定积分时还是相当不错的。

本文由 高航 授权 赛氪网 发表,并经赛氪网编辑。转载此文章须经作者同意,并请附上出处(赛氪网)及本页链接。原文链接https://www.saikr.com/a/2792
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