关于反函数的介绍比较少,教材中很少有介绍关于反函数的结论,只是介绍了求反函数的导数的方法。对于反函数的二阶导数及原函数没有提及。这里主要介绍反函数的二阶导数和原函数,以及利用后面的结论求反三角函数原函数的应用。
一、反函数的二阶导数
设函数y=y(x)二阶可导,且具有反函数x=x(y),求反函数的二阶导数d2xdy2.
解:dxdy=1dydx=1y′
两边对x求导,得d2ydx2=−d2xdy2⋅dydx(dxdy)2=−d2xdy2(dxdy)3
于是d2xdy2=−(dxdy)3⋅d2ydx2=−(1dydx)3d2ydx2=−y″y′3
这就是反函数的二阶导数公式,使用并不多因此教材少见。不过可以通过推导过程来练习隐函数求导数的方法。
二、反函数的不定积分
设f(x)有反函数,∫f(x)dx=F(x)+C.求∫f−1(x)dx.
利用换元积分法和分部积分法,令x=f(y),∫f−1(x)dx=∫f−1(f(y))df(y)=∫yf′(y)dy=yf(y)−∫f(y)dy=yf(y)−F(y)+C=xf−1(x)−F[f−1(x)]+C.
这样我们就得到了反函数的不定积分公式:
∫f−1(x)dx=xf−1(x)−F[f−1(x)]+C.
记忆的时候,可以按照分部积分法来记忆。
利用这个公式可以解决一些反函数求不定积分的问题。
例1:∫arcsinxdx
y=arcsinx是y=sinx(−π2≤x≤π2)的反函数,而sinx的原函数是−cosx,因而有:
∫arcsinxdx=xarcsinx+cos(arcsinx)+C,而−π2≤arcsinx≤π2,因此cos(arcsinx)=√1−x2.
故可得∫arcsinxdx=xarcsinx+√1−x2+C
例2:∫arccosxdx
y=arccosx是y=cosx(0≤x≤π)的反函数,而cosx的原函数是sinx,因而有:
∫arccosxdx=xarccosx−sin(arccosx)+C=xarccosx−√1−x2+C.
可见,此方法在求反函数的不定积分时还是相当不错的。
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