求数列极限的难题赏析(一)

  • 数列极限
高航·浙江大学
2016-07-29
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求数列的极限是高等数学很重要的一种计算题型。本文通过举例分享求数列极限的方法。

例1:求极限\(\lim_{n\to\infty}\sin(\pi\sqrt{n^2+1})\)

分析:这道题目很多辅导书上都有,难住了很多同学。如果把\(n\)改成\(x \),作为函数的极限,是不存在的。因为\(\sqrt{n^2+1}\)\(n\)“很接近”,感觉上极限很像是0.这种感觉正好也给我们解决问题的思路,即通过诱导公式,括号内变成\(\pi(\sqrt{n^2+1}-\sqrt n)\),再看看能否通过分子有理化得到结果。所以说,如果能把“感觉”融入思路,那么就可以找到解法。

解:\(\lim_{n\to\infty}\sin(\pi\sqrt{n^2+1})=\lim_{n\to\infty}(-1)^n\sin(\pi\sqrt{n^2+1}-n\pi)\\=\lim_{n\to\infty}(-1)^n\sin[\pi(\sqrt{n^2+1}-n)]=\lim_{n\to\infty}(-1)^n\sin\frac{\pi}{\sqrt{n^2+1}+n}\)

\(\because\lim_{n\to\infty}\sin\frac{\pi}{\sqrt{n^2+1}+n}=0\\ \therefore \lim_{n\to\infty}\sin(\pi\sqrt{n^2+1})=\lim_{n\to\infty}(-1)^n\sin\frac{\pi}{\sqrt{n^2+1}+n}=0\)(注:有界量乘无穷小是无穷小)

这类题目直接做无法下手但是可以通过代数变形化成特殊极限,所以解这种难题代数变形的基本功是很重要的,一定要多练习。

例2:第三届全国大学生数学竞赛预赛(非数学组)

\(a_n=\cos{\theta\over2}\cos\frac{\theta}{2^2}\ldots\cos{\theta\over2^n}\),求\(\lim_{n\to\infty}a_n\)

分析:显然\(\theta=0\)\(a_n=1\),数列的极限是1.其他情况,化简\(a_n\)是当务之急。观察到角的关系,可以想到引入一个\(\sin{\theta\over2^n}\),就可以接连使用二倍角公式了。

解:显然\(\theta=0\)\(a_n=1\)\(\lim_{n\to\infty}a_n=1\).\(\theta\not=0\)时,

\(a_n=\cos{\theta\over2}\cos\frac{\theta}{2^2}\ldots\cos{\theta\over2^n}\sin{\theta\over2^n}\frac{1}{\sin{\theta\over2^n}}={1\over2}\cos{\theta\over2}\cos{\theta\over2^2}\ldots \cos{\theta\over2^{n-1}}\sin{\theta\over2^{n-1}}\frac{1}{\sin{\theta\over2^n}}\\=\ldots=\frac{\sin\theta}{2^n\sin{\theta\over2^n}}\)

\(\therefore\lim_{n\to\infty}a_n=\lim_{n\to\infty}\frac{\sin\theta}{2^n\sin{\theta\over2^n}}=\lim_{n\to\infty}\frac{sin\theta}{2^n\frac{\theta}{2^n}}={\sin\theta\over\theta}\)

例3:第四届全国大学生数学竞赛预赛(非数学组)

求极限\(\lim_{n\to\infty}(n!)^{1\over n^2}\)

分析:这里是“幂指型”,先对数列通项取对数,得到\({1\over n^2}\ln(n!)\),考虑求\(\lim_{n\to\infty}{1\over n^2}\ln(n!)\)\(\ln(n!)=\ln2+\ln3+\ldots+\ln n\),可以用定积分形式放缩。

解:\(\ln(n!)^{1\over n^2}={1\over n^2}\ln(n!)=\frac{\ln2+\ln3+\ldots+\ln n}{n^2}<\frac{\int_2^{n+1}\ln x dx}{n^2}=\frac{(n+1)\ln(n+1)-n-2\ln2+1}{n^2}\)

\(\because\lim_{n\to\infty}\frac{(n+1)\ln(n+1)-n-2\ln2+1}{n^2}=0\)

\(\therefore\lim_{x\to\infty}{1\over n^2}\ln(n!)=0\),\(\therefore\lim_{n\to\infty}(n!)^{1\over n^2}=e^{\lim_{n\to\infty}{1\over n^2}\ln(n!)}=e^0=1\)

当然本题目也可以不适用定积分进行放缩,读者可以自己展开思路哦!

例4:求极限\(\lim_{n\to\infty}\frac{1\cdot3\cdots(2n-1)}{2\cdot4\cdots(2n)}\)

分析:这里凭直觉猜测极限为0,这种情况下采用“夹逼原理”,将通项合理放缩,成一个明显可以看出极限为0的形式。发现下面2刚好是1和3的平均数,4刚好是3和5的平均数,以此类推,考虑用基本不等式放缩。

解:\(2={1+3\over2}>\sqrt{1\cdot3},4={3+5\over2}>\sqrt{3\cdot5},\cdots,2n={(2n-1)+(2n+1)\over2}>\sqrt{(2n-1)(2n+1)}\)

\(\therefore\frac{1\cdot3\cdots(2n-1)}{2\cdot4\cdots(2n)}<\frac{1\cdot3\cdots(2n-1)}{\sqrt{1\cdot3}\sqrt{3\cdot5}\cdots\sqrt{(2n-1)(2n+1)}}={1\over\sqrt{2n+1}}\)

\(\because\lim_{n\to\infty}{1\over\sqrt{2n+1}}=0,\therefore\lim_{n\to\infty}\frac{1\cdot3\cdots(2n-1)}{2\cdot4\cdots(2n)}=0\)

难处理的数列极限求解,如果我们能够大致猜出极限,可以考虑使用“夹逼原理”进行证明。

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