这里我把幂指函数和幂指数列统称为“幂指型”,简单地说,幂指型就是指底数和指数上都出现未知量的形式。如果用严格的定义叙述的话,我们把可以表示为y=f(x)g(x)(f(x)>0)的函数称为幂指函数,把可以表示为an=f(n)g(n)(f(n)>0)的数列称为幂指数列。求解幂指型的极限是高等数学中的一个难点,我们并不是很喜欢这种形式。因此,无论是研究生考试,还是大学生数学竞赛,计算幂指型极限的问题经常出现。那么,解决这一类问题有什么技巧呢?本文介绍的是幂指型函数求极限的方法。
幂指型函数y=f(x)g(x)(f(x)>0),如果这里f(x),g(x)的极限都存在,那么这个问题就很简单了,我们可以证明,如果f(x),g(x)的极限分别是A,B,那么幂指型的极限是AB。这个证明并不困难,本文不予赘述。如果f(x)的极限是0,而g(x)的极限是+∞,也可以证明这个幂指型的极限是0.因此,上面提到的两种问题比较简单,一般来说竞赛中不会遇到。所以竞赛中如果遇到这种幂指型的问题,基本上不要想着试图分别求出底数和指数的极限这样的“美差事”了。我们面对的往往是“∞0”“1∞”“00”这三种“未定型”。下文将要介绍的是“未定幂指型”函数极限的求法。
这是“幂指型”函数极限求解最普遍、最一般的方法,利用的是幂指型通过取对数可以转化为复合函数的特点。由于lnf(x)g(x)=g(x)lnf(x),f(x)g(x)=eg(x)lnf(x)。由于指数函数的连续性,求解幂指型f(x)g(x)的极限的问题就归结为求g(x)lnf(x)的极限问题。至于g(x)lnf(x)这种极限到底该怎么求,这里方法就由取对数后式子的特征来决定了,本文不予赘述。很多参考书在这里直接从原来的幂指型开始变形,这样后面每一步计算都带着底数e,会显得计算比较复杂。这里我推荐的做法是“先取对数再说”,即先对原来的幂指型取对数,然后设法求取完对数后式子的极限,最后得到答案,不要忘了这个答案是取过对数的,最终需要加上底数e。这样的好处是容易对取完对数后式子进行分析,不会因为式子太复杂而迷糊。取对数之前,指数的位置上有自变量,这让我们束手无策。而取完对数以后就把自变量从指数的位置上“放下来”,这是取对数法最大的好处,起到了删繁就简的效果,这是对问题的解决有所裨益的地方。此方法可以用一句口诀概括:“幂指型求极限,先取对数再说”。接下来我们看一些例子:
例1:计算极限limx→∞(x+ex)1x
分析:先取对数 ln(x+ex)1x=ln(x+ex)x
取对数后的形式是∞∞型且不难求导数,洛必达法则是很好的方法。
最后不要忘了1不是最终的结果,是取过对数后式子的极限。因此原来的幂指型极限是e。
∴limx→∞(x+ex)1x=e1=e
一般的参考书或教科书,过程是这么写的:
这么书写看起来非常流畅,一气呵成,但是关键的变形一直在指数上,而书写的时候指数是比较小的。幸好这个式子并不复杂,我们可以看清楚。如果式子复杂一些,我们看的时候可能就存在一些困难了。所以单独把取完对数的形式拉出来,后面的思路可以看得更清晰。这是我比较喜欢的过程,也可以很好地体现取对数的作用。
例2:(第一届大学生数学竞赛(非数学组)预赛)
求极限limx→0(ex+e2x+⋯+enxn)ex,其中n是给定的正整数。
分析:虽然出现了x和n但是n可以当作常数来对待。式子是幂指型,因此先取对数再说。要注意的是虽然分子可以看成等比数列求和的形式,但是现在我们不清楚是否求和后的形式更利于解决问题,所以先放着,不要过于着急变形。
取对数后结果是:eln(ex+e2x+⋯+enxn)x,这个形式是00型,求导数没有太大的难度,所以用洛必达法则。由于分子接下来考虑进行求导,这里上面用等比数列求和并没有太大的意义。在解题的时候着急地进行变形并不是一种很好的习惯,一定要看有没有需要。
解:
例3:(第二届大学生数学竞赛(非数学组)预赛)
求极限limx→∞e−x(1+1x)x2
分析:如果看成(1+1x)x2ex,这里分子求导很麻烦,洛必达法则看起来前途黯淡。虽然出现了(1+1x)x但是暂时也看不到怎么用。这里出现了幂指型,还是先取对数再看情况。
取对数后得到的是−x+x2ln(1+1x),作变量代换t=1x是比较好的一种思路。读者可以思考一下其他的思路。
通过这个题目,我们可以再次领略到先取对数的好处。
利用等价无穷小(或无穷大)作代换是很重要并且有技巧性的一种求极限的方法。由于lnf(x)g(x)=g(x)lnf(x),如果f(x)∼ϕ(x),g(x)∼ψ(x),自然有g(x)lnf(x)∼ψ(x)lnϕ(x),于是f(x)g(x)∼ϕ(x)ψ(x).
由此我们可以得到:如果f(x)>0,ϕ(x)>0,f(x)∼ϕ(x),g(x)∼ψ(x),而limf(x)g(x)存在,那么limϕ(x)ψ(x)=limf(x)g(x)。这个结论的证明本文不予赘述,有兴趣的读者可以自己推演。这表明,幂指型也可以使用等价替换法求极限。
例4:求极限limx→0(1+x)cotx
分析:这里使用等价无穷小(大)代换将非常简单.
解:∵cotx=1tanx∼1x
∴limx→0(1+x)cotx=limx→0(1+x)1x=e
如果不太习惯直接在幂指型中进行等价代换,我们可以按照上一种思路,先去取对数,再对取对数以后的形式用等价代换。
前面说过,幂指型函数y=f(x)g(x)(f(x)>0),如果这里f(x),g(x)的极限都存在,那么这个问题就很简单了。虽然题目往往不会出现这种好事,但是有时候我们可以对前面的形式进行配凑,强行变成这种形式,然后求极限。
一般来说,配凑法往往利用重要极限limx→0(1+x)1x=e,所以一般用于求解“1∞”型极限。若α(x)>0,α(x)是无穷小量,那么
如果α(x)β(x)的极限存在,那么就达到配凑法求解极限的目的了。因此我们可以考虑先求α(x)β(x)的极限。
例5:求极限limx→0(arctanxx)3xsinx
分析:这里是“1∞”型,可以尝试用配凑法求极限。
arctanxx=1+arctanx−xx,先进行变形,然后进行配凑。
解:
总结:上述三种方法为幂指型函数求极限的主要方法,最常规的方法是取对数法,后面两种方法有一定技巧性,不过也可以归结为取对数的方法。掌握好它们,我们在遇到这类问题的时候就不再会感到非常吃力了。
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