数学|微积分是研究复杂函数的工具

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赛氪考研·中国科学院大学
2017-04-05
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今天的文章,我们来谈谈如何理解微积分,希望能给正在备战考研的你,带来些许的眉目和灵感。大学时我学习微积分,往往跟着老师的思路走,陷入到具体知识点里面;直到现在,我从事的研究用到了微积分,才发现微积分只是一个工具。

 

微积分是研究复杂函数的工具

 

在中学,我们已经学习过六类简单初等函数(常指对幂,正反三角),并且学习过一些研究初等函数的手段,但这些函数都是极其特殊的,比如他们都是逐段连续的,并且是无穷阶可导的。但是面对一个这样的函数

 

 

 

很多高中生还是两眼一抹黑,根本不知道想了解一些性质要从哪里入手。但是懂微积分的人就不一样了,上来就可以求导,求导之后就得到了很多有用的信息,然后知道导数的正负,也就是增减性之后,函数图像也能画出来了,起码整个东西不再令人恐惧了。而现实生活中,复杂函数要远远多于简单初等函数,所以微积分这一工具的作用不言而喻。

 

正如我们在《理解线性代数:10分钟的视频胜过看3天书》的文章里说的一样,矩阵是研究线性空间的工具;今天我们将思维跳出来,将微积分看作是研究复杂函数的数学工具,而不仅仅单纯作为学习高等数学时的课程内容,再去审视微积分,或许我们就会有别样的发现。接下来,我们简单回顾一下微积分诞生的故事。

 

微积分的诞生

 

微积分中最重要的定理莫过于牛顿-莱布尼兹公式(微积分基本定理),这是因为牛顿和莱布尼兹大约在同一时间相互独立的发现。然而,导数(微分)是切线的斜率和定积分是曲线下面积这些概念是在他们之前许多思想家都知道。在这种情况下,为什么是给予牛顿和莱布尼兹创建这个新数学分支的荣誉呢(该分支在西方文明的主要特征中,可以说是支柱)?主要是因为他们是微积分基本定理的主要发现者。他们理解到它的重要性,并开始构建所需的支撑材料,将其成功应用到科学和几何的问题上。

 

然而,科学历史学家将基本定理的根源追溯到早些时候Barrow 和Pascal的几何工作上,他们的著作影响了牛顿和莱布尼兹。正如牛顿(他不是一个谦虚的人)说过的:如果我看得更远,那是因为我站在巨人的肩膀上。这是他难得一次的自我贬低,这些巨人之一还有费马,他第一个证明下图所述的面积公式。这表明,他必须知道基本定理(这似乎是最便捷的方法),但不幸的是他没有注意到它。

 

 

 

微积分基本定理无疑是人类思想最伟大的成就之一。当我们考虑数学和物理的后续发展在多大程度的取决于它时,它也是最有影响力的成就之一。在它被发现之前,从公元前三世纪的阿基米德到十七世纪中叶的费马,找出曲线面积、体积和长度问题非常困难,只有天才可能想着去解决他们,并且任何一代都只有少数人。但现在,牛顿、莱布尼兹以及他们的追随者在基本定理的基础上提出了大量的系统方法,之后的文章我们会对这些问题进行探讨。

 

- END -

 

 

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