数学|我们需要怎样的数学教育?

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赛氪考研·中国科学院大学
263 天前
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「作者

顾森,网名Matrix67,北京大学中文系应用语言学专业学生,数学爱好者。2005年开办数学博客http://www.matrix67.com,至今已积累上千篇文章,已有上万人订阅。长期为各类科普杂志供稿,从事数学教育工作多年。

 

「正

注:这篇文章里有很多个人观点,带有极强的主观色彩。其中一些思想不见得是正确的,有一些话也是我没有资格说的。我只是想和大家分享一下自己的一些想法。大家记得保留自己的见解。也请大家转载时保留这段话。

我不是一个数学家。我甚至连数学专业的人都不是。我是一个纯粹打酱油的数学爱好者,只是比一般的爱好者更加执着,更加疯狂罢了。初中、高中一路保送,大学不在数学专业,这让我可以不以考试为目的地学习自己感兴趣的数学知识,让我对数学有如此浓厚的兴趣。从 05 年以来,每看到一个惊人的结论或者美妙的证明,我再忙都会花时间把它记录下来,生怕自己忘掉。不过,我深知,这些令人拍案叫绝的雕虫小技其实根本谈不上数学之美,数学真正博大精深的思想我恐怕还不曾有半点体会。

我多次跟人说起,我的人生理想就是,希望有一天能学完数学中的各个分支,然后站在一个至高点,俯瞰整个数学领域,真正体会到数学之美。但是,想要实现这一点是很困难的。最大的困难就是缺少一个学习数学的途径。看课本?这就是我今天想说的——课本极其不靠谱。

一直对线性代数很感兴趣,于是大学选了线性代数这门课,结果收获几乎为零。原因很简单,本来期待着来一次大彻大悟,结果学了一个学期,我还是不知道矩阵究竟是什么,矩阵乘法为什么要这么定义,矩阵可逆又怎么了,行列式究竟表示什么。

直到今天看到网上一个问题,才看见有人一语道破线性代数的真谛(这也是我终于决定写成此文的直接原因)。我终于找到了我那一个学期企图寻找的东西。就好像把 x 变成 2 x 一样,我们经常需要把 (x, y) 变成 (2 x + y, x – 3 y) 之类的东西,这就叫做线性变换。于是才想到定义矩阵乘法,用于表示一切线性变换。几何上看,把平面上的每个点 (x, y) 都变到  (2 x + y, x – 3 y) 的位置上去,效果就相当于这个平面进行了一个“线性的拉扯”。

 

      

 

矩阵的乘法,其实就是多个线性变换叠加的效果,它显然满足结合律,但不满足交换律。主对角线全是 1 的矩阵所对应的线性变换其实就是不变的意思,因此它叫做单位矩阵。矩阵 A 乘以矩阵 B 得单位矩阵,就是做完线性变换 A 后再做一次线性变换 B 就又变回去了的意思,难怪我们说矩阵 B 是矩阵 A 的逆矩阵。课本上对行列式的定义千奇百怪,又是什么递归,又是什么逆序对,还编写口诀帮助大家记忆。其实,行列式的真正定义就一句话:每个单位正方形在线性变换之后的面积。因此,单位矩阵的行列式当然就为 1,某行全为 0 的行列式显然为 0 (因为某一维度会被无视掉,线性变换会把整个平面压扁), |A·B| 显然等于 |A|·|B| 。行列式为 0 ,对应的矩阵当然不可逆,因为这样的线性变换已经把平面压成一条线了,什么都不能把它变回去了。当然,更高阶的矩阵就对应了更高维的空间。一瞬间,所有东西都解释清楚了。

 

难以置信的是,如此令人兴奋的东西,我们所用的课本上竟然一点都没有说到!那些开篇就讲行列式定义的课本,为什么不先把线性变换下的面积当作行列式的定义,再推导出行列式的计算方法,再来补充说明“其实从逻辑上说,我们应该先用这个计算公式来定义行列式,然后才说行列式可以用来表示面积”?为了严密性而牺牲了可读性,太不值得了。写到这里,我真想立即拾起线性代数课本,用全新的眼光重看所有的定义和定理,然后重新写一份真正的线性代数教材来。

 

高数课本同样荒唐。主流的高数课本都是先讲导数,再讲不定积分,再讲定积分,完全把顺序弄颠倒了。好多人学完微积分,虽然已经用得得心应手,但仍然没懂这是怎么回事。究其原因,还是数学教学的问题。

 

我理想中的微积分课本则应该是先讲定积分,再讲导数,再讲不定积分。先讲定积分,不过千万不能用现在的定积分符号,避免学生误认为定积分是由不定积分发展而来的。讲自古就有的积分思想,讲分割求和取极限的方法,自创一套定积分的符号。然后另起炉灶,开始讲微分,讲无穷小,讲变化量。最后才讲到,随着 x 一点一点的增加,曲线下方面积的变化量就是那一条条竖线的高度——不就是这个曲线本身的函数值吗?因此,反过来,为了求出一个函数对应的曲线下方的面积,只需要找到一个新函数,使得它的微分正好就是原来那个函数。啪,微积分诞生了。

 

光讲形式化的推导沒有用。这才是真正把微积分讲懂的方式。严格定义和严格证明应该放到直观理解之后。只可惜,我还没看到哪本课本是这样写的。

 

说了这么多,其实总结起来只有一句话:我们学习数学的过程,应该和人类认识数学的过程一样。我们应该按照数学发展历史的顺序学习数学。我们应该从古人计数开始学起,学到算术和几何,学到坐标系和微积分,了解每个数学分支创立的动机,以及这个分支曲折的发展历程。我们应该体会数学发展的每个瓶颈,体会每个全新理论的伟大之处,体会每一次数学危机让数学家们手忙脚乱的感觉,体会先有直观思维再给出形式化描述的艰难。

 

可惜,我没有找到任何用这种方式学习数学的途径。

 

不过也好。既然没有捷径,那就让我自己把那堆形式化的定义和证明通看一遍,然后自己去体会其中的道理吧。这样看来,我们的教育也没错:先用考试逼着大家把该学的东西都学了,尽管自己也不知道自己学的是啥;等将来的某一天达到一定高度时,回头看看过去学的东西,突然恍然大悟,明白了当初学的究竟是什么。这无疑是一件更有乐趣的事情。我希望有一天能像今天这样,能悟出高等代数究竟在讲什么,能悟出范畴论到底有什么用,能悟出 Riemann 假设为何如此牛 B,能悟出 Hilbert 空间是什么东西,然后把它们都写下来。

这恐怕得花我大半辈子的时间吧。

 

- END -

 

自言自语

前段时间,赛氪考研君一直在纠结,应该为大家提供什么样的考研数学内容。今天借matrix67的文章,赛氪考研君计划每天针对性为大家深入剖析“矩阵究竟是什么,矩阵乘法为什么要这么定义,矩阵可逆又怎么了,行列式究竟表示什么”等此类的知识点。

 

每天一篇,死磕数学,你好我好大家好!

 

 

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