考研|高数复习,构建知识体系脉络

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赛氪考研·中国科学院大学
2017-03-23
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考研数学考三个科目,分别为高等数学、线性代数、概率论与数理统计。按正常的复习顺序,我们应该先从高等数学开始。原因有二:其一,高等数学在试卷中所占分值最高,占整张卷面分值的百分之五十六,而且难度也居三科之首;其二,科目之间的先后联系,导致先复习高数。线性代数和概率论与数理统计,尤其是概率论与数理统计是以高数为基础的学科,不学高数很难进行后继学科的学习,大学数学在课程设置上也是按次顺序进行,可见其科学性。

 

为了更好的了解考研高等数学这一科目,在复习它之前我们应该了解一下它的知识体系是很有必要的。这样我们可以有一个全局观,能清晰的知道每一章节之间的联系和侧重点,而不是只见树木不见森林。

 

 

高等数学从大的方面分为一元函数微积分和多元函数微积分。一元微积分中包括极限、导数、不定积分、定积分;多元函数微积分包括多元函数微分学(主要是二元函数)和多元函数积分学。另外还有微分方程和级数,这两章内容可看成是微积分的应用,除此之外还有向量代数与空间解析几何。其中数一单独考查的内容为向量代数与空间解析几何和多元函数积分学中的三重积分、曲线积分、曲面积分,另外是数一数二数三公共部分,公共部分中也有一些细微差别,详见考研数学大纲。下面我们分章去介绍。

 

极限是高等数学中非常重要的一章,此概念贯穿整个高等数学始末,导数、定积分、偏导数、多元函数积分、级数等概念都是用极限来定义的。正是有了极限的概念数学才从有限升华到无限,这也是高等数学与初等数学的分水岭。在考研数学中极限也是每年必考的内容,直接考查的分值高达14-18分。

 

有了极限的概念,那么导数的概念就有了理论根基,导数是一元函数微分学的灵魂,在考研中这章是重点,每年必考,而且灵活性和综合性较强。这一章可从导数微分概念、计算、应用、中值定理三方面学复习。

 

不定积分本质上是求导的逆运算,本章重点是计算,其重要性怎么描述都不为过。因为积分是决定高数学习成败的一个关键章节,后继章节如定积分、二重积分、三重积分、曲线曲面积分、微分方程中都会用到。

 

定积分是微积分所说的积分,除了掌握基本概念,还要掌握其计算相关内容及定积分的应用,每年必考。微分方程本质上还是不定积分的计算。

 

至此,我们就把一元微积分讲述完毕。

 

多元函数的微积分体系上与一元类似,微分学包括基本概念(二重极限、偏导数、可微)、偏导数计算、偏导数应用。多元函数积分学包括二重积分、三重积分、曲线曲面积分,考试重点在计算,属于每年必考题目。最后一章级数包括三部分常数项级数(主要考查敛散性判别),幂级数(主要考查展开与求和)、傅里叶级数(数一单独考查),本章也属必考内容。

 

关于考研数学复习教材,小伙伴经常会遇到这样一个问题“我该依照自己的教材复习,还是应该看同济大学的高等数学教材”。我强烈建议大家以自己大一时的教材为主,因为教材内容和知识点都是一样的,都会涵盖考研数学大纲的要求。采用自己大一时的教材,没有陌生感,复习进度会稍微快一些。

 

同济大学的高等数学教材网上褒贬不一,对于基础薄弱的同学来讲,理论的引入和推导略显生硬,书籍内容重点在于计算。这是因为书籍本身是为同济大学工科生定制的。

 

在这里跟大家推荐一本工具书,菲赫金哥尔茨的《微积分学教程》,这本书适合有一定数学基础(第一轮复习完毕后)的同学当做工具书使用,书中每一个定理和推导都介绍得比较详细。

 

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