幂级数有着较为广泛的应用,不过有时候我们对它的和函数很感兴趣。虽然并不是每一个幂级数都可以求出和函数,但是我们可以求出具有某种特征的幂级数的和函数。
首先,我们到目前所掌握的求级数和的手段并不多,因而求一般的幂级数的和函数是比较困难的。但是,我们熟练掌握等比级数的求和公式。那么,如果幂级数的通项与等比级数有一定联系,我们就可以对其求和了。这里主要使用的是幂级数的和函数的一些重要性质,即连续、可积、可微。
连续性:幂级数∞∑n=0anxn的和函数s(x)在其收敛域I上连续;
可积性:幂级数∞∑n=0anxn的和函数s(x)在其收敛域I上可积,且有逐项积分公式:
∫x0s(x)dx=∫x0∞∑n=0anxndx=∞∑n=0∫x0anxndx=∞∑n=0ann+1xn+1.
且逐项积分后的级数与原级数有相同的收敛半径。
简单来说,就是求积分可以和求极限(级数运算)交换,这对于一般的函数项级数不一定成立,但是对幂级数是成立的。
可微性:幂级数∞∑n=0anxn的和函数s(x)在其收敛域I上可微,且有逐项求导公式:
s′(x)=(∞∑n=0anxn)′=∞∑n=0(anxn)′=∞∑n=0nanxn−1
且逐项求导后的级数与原级数有相同的收敛半径。
简单来说,就是求导运算可以和求极限(级数运算)交换,这对于一般的函数项级数不一定成立,但是对幂级数是成立的。
那么,知道了以上性质以后,求幂级数的和函数的思路就是试图通过逐项求导或者逐项积分,得到一个可以求和的等比级数,然后再作相应的逆运算得到和函数。比如原幂级数进行一次逐项求导之后可以得到一个等比级数,那么这个等比级数的和函数就是原幂级数的和函数的导数,将其积分即可得到原幂级数的和函数。不过,需要先行求出原幂级数的收敛域。
例1:求幂级数∞∑n=0nxn−1的和函数.
首先求收敛域,收敛半径R=limn→∞nn+1=1,收敛区间是(−1,1).显然,x=±1时幂级数是发散的,因此收敛域为(−1,1).
注意到nxn−1=(xn)′,而∞∑n=0xn是可以进行求和的等比级数.
记和函数s(x)=∞∑n=0nxn−1,则
∫x0s(x)dx=∞∑n=1∫x0nxn−1dx=∞∑n=1xn=x1−x
s(x)=(x1−x)′=1(x−1)2(−1<x<1)
这里看出来幂级数的通项进行一次积分后可以得到等比级数,因此对逐项积分后得到的等式求导数即得到和函数。
例2:求幂级数∞∑n=0xnn+1的和函数
容易求出收敛域是[−1.1),这里注意到直接逐项求导或者逐项积分是无济于事的,但是如果通项中x的次数可以变成n+1,再求导就好了,因此这里求xs(x)比较简单。
令s(x)=∞∑n=0xnn+1,则xs(x)=∞∑n=0xn+1n+1=∞∑n=1xnn,
(xs(x))′=∞∑n=1(xnn)′=∞∑n=1xn−1=11−x
∴xs(x)=−ln(1−x)+C,令x=0得C=0.
∴xs(x)=−ln(1−x)(−1⩽x<0),s(x)=−ln(1−x)x,x∈[−1,0)∪(0,1)
由函数的连续性可得s(0)=1
故s(x)={−ln(1−x)x,−1⩽x<0或0<x<11,x=0
不能直接逐项求导或者逐项积分求和的幂级数,可以通过这些变形调整指数,使得可以通过逐项求导或者逐项积分降低n的次数,进而得到等比级数。
有时候需要多次做这样的事情,如下面这个例子:
例3:求幂级数∞∑n=0n2xn
解:首先求收敛域,R=limn→∞n2(n+1)2=1,收敛区间是(−1,1),当x=±1的时候幂级数是发散的。收敛域是(−1,1).
令s(x)=∞∑n=0n2xn,s(x)x=∞∑n=0n2xn−1
∫x0(1xs(x))dx=∞∑n=1n∫x0nxn−1dx=∞∑n=1nxndx
虽然这里并没有求出和来,但是将n的次数降低了一次,得到更容易求和的幂级数。
再令t(x)=∞∑n=1nxn,则t(x)x=∞∑n=1nxn−1
∫x0(t(x)x)dx=∞∑n=1xn=x1−x(−1<x<1,x≠0)
∴t(x)x=1(x−1)2(−1<x<1,x≠0)
∴t(x)=x(x−1)2(−1<x<1)
∴∫x0(1xs(x))dx=x(x−1)2(−1<x<1,x≠0)
∴s(x)x=−x+1(x−1)3(−1<x<1,x≠0)
∴s(x)=−x(x+1)(x−1)3(−1<x<1)
这里就是先两次调整次数并逐项积分得到等比级数,然后求好的结果再求导数最后计算出和函数,步骤比较漫长,不过如果搞清楚了思路就可以迎刃而解了。
另外,对于一些特殊的数项级数,也可以通过构造幂级数的方法求解,例如求得∞∑n=0xnn+1的和函数是s(x)={−ln(1−x)x,−1⩽x<0或0<x<11,x=0之后,令x=−1便可得到∞∑n=1(−1)n−1n=ln2.
非常抱歉!本站不支持旧版本IE浏览器~~建议使用IE10/IE11/Chrome/Firefox/Safari等高级浏览器浏览。