幂级数求和函数的方法

幂级数有着较为广泛的应用，不过有时候我们对它的和函数很感兴趣。虽然并不是每一个幂级数都可以求出和函数，但是我们可以求出具有某种特征的幂级数的和函数。

首先，我们到目前所掌握的求级数和的手段并不多，因而求一般的幂级数的和函数是比较困难的。但是，我们熟练掌握等比级数的求和公式。那么，如果幂级数的通项与等比级数有一定联系，我们就可以对其求和了。这里主要使用的是幂级数的和函数的一些重要性质，即连续、可积、可微。

连续性：幂级数$\sum\limits_{n=0}^\infty a_nx^n$的和函数$s(x)$在其收敛域$I$上连续；

可积性：幂级数$\sum\limits_{n=0}^\infty a_nx^n$的和函数$s(x)$在其收敛域$I$上可积，且有逐项积分公式：

$\int_0^x {s(x)dx} = \int_0^x {\sum\limits_{n = 0}^\infty {{a_n}{x^n}dx} = \sum\limits_{n = 0}^\infty {\int_0^x {{a_n}{x^n}} dx = \sum\limits_{n = 0}^\infty {\frac{{{a_n}}}{{n + 1}}} } } {x^{n + 1}}$.

且逐项积分后的级数与原级数有相同的收敛半径。

简单来说，就是求积分可以和求极限（级数运算）交换，这对于一般的函数项级数不一定成立，但是对幂级数是成立的。

可微性：幂级数$\sum\limits_{n=0}^\infty a_nx^n$的和函数$s(x)$在其收敛域$I$上可微，且有逐项求导公式：

$s'(x) = (\sum\limits_{n = 0}^\infty {{a_n}{x^n}} )' = \sum\limits_{n = 0}^\infty {({a_n}{x^n})'} = \sum\limits_{n = 0}^\infty {n{a_n}{x^{n - 1}}}$

且逐项求导后的级数与原级数有相同的收敛半径。

简单来说，就是求导运算可以和求极限（级数运算）交换，这对于一般的函数项级数不一定成立，但是对幂级数是成立的。

那么，知道了以上性质以后，求幂级数的和函数的思路就是试图通过逐项求导或者逐项积分，得到一个可以求和的等比级数，然后再作相应的逆运算得到和函数。比如原幂级数进行一次逐项求导之后可以得到一个等比级数，那么这个等比级数的和函数就是原幂级数的和函数的导数，将其积分即可得到原幂级数的和函数。不过，需要先行求出原幂级数的收敛域。

例1:求幂级数$\sum\limits_{n=0}^\infty nx^{n-1}$的和函数.

首先求收敛域，收敛半径$R = \lim \limits_{n \to \infty } \frac{n}{{n + 1}} = 1$，收敛区间是$(-1,1)$.显然，$x = \pm1$时幂级数是发散的，因此收敛域为$(-1,1)$.

注意到$nx^{n-1}=(x^n)'$，而$\sum\limits_{n=0}^\infty x^n$是可以进行求和的等比级数.

记和函数$s(x)=\sum\limits_{n=0}^\infty nx^{n-1}$，则

$\int_0^x {s(x)dx} = \sum\limits_{n = 1}^\infty {\int_0^x {n{x^{n - 1}}} dx} = \sum\limits_{n = 1}^\infty {{x^n}} = \frac{x}{{1 - x}}$

$s(x) = \left( {\frac{x}{{1 - x}}} \right)' = \frac{1}{{{{(x - 1)}^2}}}( - 1 < x < 1)$

这里看出来幂级数的通项进行一次积分后可以得到等比级数，因此对逐项积分后得到的等式求导数即得到和函数。

例2：求幂级数$\sum\limits_{n=0}^\infty\frac{x^n}{n+1}$的和函数

容易求出收敛域是$[-1.1)$，这里注意到直接逐项求导或者逐项积分是无济于事的，但是如果通项中$x$的次数可以变成$n+1$，再求导就好了，因此这里求$xs(x)$比较简单。

令$s(x)=\sum\limits_{n=0}^\infty\frac{x^n}{n+1}$，则$xs(x) = \sum\limits_{n = 0}^\infty {\frac{{{x^{n + 1}}}}{{n + 1}} = \sum\limits_{n = 1}^\infty {\frac{{{x^n}}}{n}} }$，

$(xs(x))' = \sum\limits_{n = 1}^\infty {(\frac{{{x^n}}}{n}} )' = \sum\limits_{n = 1}^\infty {{x^{n - 1}}} = \frac{1}{{1 - x}}$

$\therefore xs(x) = - \ln (1 - x) + C$，令$x=0$得$C=0$.

$\begin{gathered} \therefore xs(x) = - \ln (1 - x)( - 1 \leqslant x < 0), \hfill \\ s(x) = - \frac{{\ln (1 - x)}}{x},x \in [ - 1,0) \cup (0,1) \hfill \\ \end{gathered}$

由函数的连续性可得$s(0)=1$

故$s(x) = \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}} { - \frac{{\ln (1 - x)}}{x}, - 1 \leqslant x < 0或0 < x < 1} \\ {1,x = 0} \end{array}} \right.$

不能直接逐项求导或者逐项积分求和的幂级数，可以通过这些变形调整指数，使得可以通过逐项求导或者逐项积分降低$n$的次数，进而得到等比级数。

有时候需要多次做这样的事情，如下面这个例子：

例3：求幂级数$\sum\limits_{n=0}^\infty n^2x^n$

解：首先求收敛域，$R=\lim\limits_{n\to\infty}\frac{n^2}{(n+1)^2}=1$，收敛区间是$(-1,1)$，当$x = \pm1$的时候幂级数是发散的。收敛域是$(-1,1)$.

令$s(x)=\sum\limits_{n=0}^\infty n^2x^n$，$\frac{s(x)}x=\sum\limits_{n=0}^\infty n^2x^{n-1}$

$\int_0^x {(\frac{1}{x}s(x))} dx = \sum\limits_{n = 1}^\infty {n\int_0^x {n{x^{n - 1}}} } dx = \sum\limits_{n = 1}^\infty {n{x^n}dx}$

虽然这里并没有求出和来，但是将$n$的次数降低了一次，得到更容易求和的幂级数。

再令$t(x)=\sum\limits_{n=1}^\infty nx^n$，则$\frac{{t(x)}}{x} = \sum\limits_{n = 1}^\infty {n{x^{n - 1}}}$

$\int_0^x {(\frac{{t(x)}}{x})dx = \sum\limits_{n = 1}^\infty {{x^n}} = \frac{x}{{1 - x}}} ( - 1 < x < 1,x \ne 0)$

$\therefore \frac{{t(x)}}{x} = \frac{1}{{{{(x - 1)}^2}}}( - 1 < x < 1,x \ne 0)$

$\therefore t(x) = \frac{x}{{{{(x - 1)}^2}}}( - 1 < x < 1)$

$\therefore \int_0^x {(\frac{1}{x}s(x))} dx = \frac{x}{{{{(x - 1)}^2}}}( - 1 < x < 1,x \ne 0)$

$\therefore \frac{{s(x)}}{x} = - \frac{{x + 1}}{{{{(x - 1)}^3}}}( - 1 < x < 1,x \ne 0)$

$\therefore s(x) = - \frac{{x(x + 1)}}{{{{(x - 1)}^3}}}( - 1 < x < 1)$

这里就是先两次调整次数并逐项积分得到等比级数，然后求好的结果再求导数最后计算出和函数，步骤比较漫长，不过如果搞清楚了思路就可以迎刃而解了。

另外，对于一些特殊的数项级数，也可以通过构造幂级数的方法求解，例如求得$\sum\limits_{n=0}^\infty\frac{x^n}{n+1}$的和函数是$s(x) = \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}} { - \frac{{\ln (1 - x)}}{x}, - 1 \leqslant x < 0或0 < x < 1} \\ {1,x = 0} \end{array}} \right.$之后，令$x =-1$便可得到$\sum\limits_{n=1}^\infty {\frac{(-1)^{n-1}}{n}}=\ln 2$.