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幂级数求和函数的方法

  • 幂级数
  • 和函数
高航·浙江大学
2016-08-12
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幂级数有着较为广泛的应用,不过有时候我们对它的和函数很感兴趣。虽然并不是每一个幂级数都可以求出和函数,但是我们可以求出具有某种特征的幂级数的和函数。

首先,我们到目前所掌握的求级数和的手段并不多,因而求一般的幂级数的和函数是比较困难的。但是,我们熟练掌握等比级数的求和公式。那么,如果幂级数的通项与等比级数有一定联系,我们就可以对其求和了。这里主要使用的是幂级数的和函数的一些重要性质,即连续、可积、可微。

连续性:幂级数n=0anxn的和函数s(x)在其收敛域I上连续;

可积性:幂级数n=0anxn的和函数s(x)在其收敛域I上可积,且有逐项积分公式:

x0s(x)dx=x0n=0anxndx=n=0x0anxndx=n=0ann+1xn+1.

且逐项积分后的级数与原级数有相同的收敛半径。

简单来说,就是求积分可以和求极限(级数运算)交换,这对于一般的函数项级数不一定成立,但是对幂级数是成立的。

可微性:幂级数n=0anxn的和函数s(x)在其收敛域I上可微,且有逐项求导公式:

s(x)=(n=0anxn)=n=0(anxn)=n=0nanxn1

且逐项求导后的级数与原级数有相同的收敛半径。

简单来说,就是求导运算可以和求极限(级数运算)交换,这对于一般的函数项级数不一定成立,但是对幂级数是成立的。

那么,知道了以上性质以后,求幂级数的和函数的思路就是试图通过逐项求导或者逐项积分,得到一个可以求和的等比级数,然后再作相应的逆运算得到和函数。比如原幂级数进行一次逐项求导之后可以得到一个等比级数,那么这个等比级数的和函数就是原幂级数的和函数的导数,将其积分即可得到原幂级数的和函数。不过,需要先行求出原幂级数的收敛域。

例1:求幂级数n=0nxn1的和函数.

首先求收敛域,收敛半径R=limnnn+1=1,收敛区间是(1,1).显然,x=±1时幂级数是发散的,因此收敛域为(1,1).

注意到nxn1=(xn),而n=0xn是可以进行求和的等比级数.

记和函数s(x)=n=0nxn1,则

x0s(x)dx=n=1x0nxn1dx=n=1xn=x1x

s(x)=(x1x)=1(x1)2(1<x<1)

这里看出来幂级数的通项进行一次积分后可以得到等比级数,因此对逐项积分后得到的等式求导数即得到和函数。

例2:求幂级数n=0xnn+1的和函数

容易求出收敛域是[1.1),这里注意到直接逐项求导或者逐项积分是无济于事的,但是如果通项中x的次数可以变成n+1,再求导就好了,因此这里求xs(x)比较简单。

s(x)=n=0xnn+1,则xs(x)=n=0xn+1n+1=n=1xnn

(xs(x))=n=1(xnn)=n=1xn1=11x

xs(x)=ln(1x)+C,令x=0C=0.

xs(x)=ln(1x)(1x<0),s(x)=ln(1x)x,x[1,0)(0,1)

由函数的连续性可得s(0)=1

s(x)={ln(1x)x,1x<00<x<11,x=0

不能直接逐项求导或者逐项积分求和的幂级数,可以通过这些变形调整指数,使得可以通过逐项求导或者逐项积分降低n的次数,进而得到等比级数。

有时候需要多次做这样的事情,如下面这个例子:

例3:求幂级数n=0n2xn

解:首先求收敛域,R=limnn2(n+1)2=1,收敛区间是(1,1),当x=±1的时候幂级数是发散的。收敛域是(1,1).

s(x)=n=0n2xns(x)x=n=0n2xn1

x0(1xs(x))dx=n=1nx0nxn1dx=n=1nxndx

虽然这里并没有求出和来,但是将n的次数降低了一次,得到更容易求和的幂级数。

再令t(x)=n=1nxn,则t(x)x=n=1nxn1

x0(t(x)x)dx=n=1xn=x1x(1<x<1,x0)

t(x)x=1(x1)2(1<x<1,x0)

t(x)=x(x1)2(1<x<1)

x0(1xs(x))dx=x(x1)2(1<x<1,x0)

s(x)x=x+1(x1)3(1<x<1,x0)

s(x)=x(x+1)(x1)3(1<x<1)

这里就是先两次调整次数并逐项积分得到等比级数,然后求好的结果再求导数最后计算出和函数,步骤比较漫长,不过如果搞清楚了思路就可以迎刃而解了。

另外,对于一些特殊的数项级数,也可以通过构造幂级数的方法求解,例如求得n=0xnn+1的和函数是s(x)={ln(1x)x,1x<00<x<11,x=0之后,令x=1便可得到n=1(1)n1n=ln2.

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