幂级数求和函数的方法

  • 幂级数
  • 和函数
高航·浙江大学
2016-08-12
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幂级数有着较为广泛的应用,不过有时候我们对它的和函数很感兴趣。虽然并不是每一个幂级数都可以求出和函数,但是我们可以求出具有某种特征的幂级数的和函数。

首先,我们到目前所掌握的求级数和的手段并不多,因而求一般的幂级数的和函数是比较困难的。但是,我们熟练掌握等比级数的求和公式。那么,如果幂级数的通项与等比级数有一定联系,我们就可以对其求和了。这里主要使用的是幂级数的和函数的一些重要性质,即连续、可积、可微。

连续性:幂级数\(\sum\limits_{n=0}^\infty a_nx^n\)的和函数\(s(x)\)在其收敛域\(I\)上连续;

可积性:幂级数\(\sum\limits_{n=0}^\infty a_nx^n\)的和函数\(s(x)\)在其收敛域\(I\)上可积,且有逐项积分公式:

\(\int_0^x {s(x)dx} = \int_0^x {\sum\limits_{n = 0}^\infty {{a_n}{x^n}dx} = \sum\limits_{n = 0}^\infty {\int_0^x {{a_n}{x^n}} dx = \sum\limits_{n = 0}^\infty {\frac{{{a_n}}}{{n + 1}}} } } {x^{n + 1}}\).

且逐项积分后的级数与原级数有相同的收敛半径。

简单来说,就是求积分可以和求极限(级数运算)交换,这对于一般的函数项级数不一定成立,但是对幂级数是成立的。

可微性:幂级数\(\sum\limits_{n=0}^\infty a_nx^n\)的和函数\(s(x)\)在其收敛域\(I\)上可微,且有逐项求导公式:

\(s'(x) = (\sum\limits_{n = 0}^\infty {{a_n}{x^n}} )' = \sum\limits_{n = 0}^\infty {({a_n}{x^n})'} = \sum\limits_{n = 0}^\infty {n{a_n}{x^{n - 1}}} \)

且逐项求导后的级数与原级数有相同的收敛半径。

简单来说,就是求导运算可以和求极限(级数运算)交换,这对于一般的函数项级数不一定成立,但是对幂级数是成立的。

那么,知道了以上性质以后,求幂级数的和函数的思路就是试图通过逐项求导或者逐项积分,得到一个可以求和的等比级数,然后再作相应的逆运算得到和函数。比如原幂级数进行一次逐项求导之后可以得到一个等比级数,那么这个等比级数的和函数就是原幂级数的和函数的导数,将其积分即可得到原幂级数的和函数。不过,需要先行求出原幂级数的收敛域。

例1:求幂级数\(\sum\limits_{n=0}^\infty nx^{n-1}\)的和函数.

首先求收敛域,收敛半径\(R = \lim \limits_{n \to \infty } \frac{n}{{n + 1}} = 1\),收敛区间是\((-1,1)\).显然,\(x = \pm1\)时幂级数是发散的,因此收敛域为\((-1,1)\).

注意到\(nx^{n-1}=(x^n)'\),而\(\sum\limits_{n=0}^\infty x^n\)是可以进行求和的等比级数.

记和函数\(s(x)=\sum\limits_{n=0}^\infty nx^{n-1}\),则

\(\int_0^x {s(x)dx} = \sum\limits_{n = 1}^\infty {\int_0^x {n{x^{n - 1}}} dx} = \sum\limits_{n = 1}^\infty {{x^n}} = \frac{x}{{1 - x}}\)

\(s(x) = \left( {\frac{x}{{1 - x}}} \right)' = \frac{1}{{{{(x - 1)}^2}}}( - 1 < x < 1)\)

这里看出来幂级数的通项进行一次积分后可以得到等比级数,因此对逐项积分后得到的等式求导数即得到和函数。

例2:求幂级数\(\sum\limits_{n=0}^\infty\frac{x^n}{n+1}\)的和函数

容易求出收敛域是\([-1.1)\),这里注意到直接逐项求导或者逐项积分是无济于事的,但是如果通项中\(x\)的次数可以变成\(n+1\),再求导就好了,因此这里求\(xs(x)\)比较简单。

\(s(x)=\sum\limits_{n=0}^\infty\frac{x^n}{n+1}\),则\(xs(x) = \sum\limits_{n = 0}^\infty {\frac{{{x^{n + 1}}}}{{n + 1}} = \sum\limits_{n = 1}^\infty {\frac{{{x^n}}}{n}} } \)

\((xs(x))' = \sum\limits_{n = 1}^\infty {(\frac{{{x^n}}}{n}} )' = \sum\limits_{n = 1}^\infty {{x^{n - 1}}} = \frac{1}{{1 - x}}\)

\(\therefore xs(x) = - \ln (1 - x) + C\),令\(x=0\)\(C=0\).

\(\begin{gathered} \therefore xs(x) = - \ln (1 - x)( - 1 \leqslant x < 0), \hfill \\ s(x) = - \frac{{\ln (1 - x)}}{x},x \in [ - 1,0) \cup (0,1) \hfill \\ \end{gathered} \)

由函数的连续性可得\(s(0)=1\)

\(s(x) = \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}} { - \frac{{\ln (1 - x)}}{x}, - 1 \leqslant x < 0或0 < x < 1} \\ {1,x = 0} \end{array}} \right.\)

不能直接逐项求导或者逐项积分求和的幂级数,可以通过这些变形调整指数,使得可以通过逐项求导或者逐项积分降低\(n\)的次数,进而得到等比级数。

有时候需要多次做这样的事情,如下面这个例子:

例3:求幂级数\(\sum\limits_{n=0}^\infty n^2x^n\)

解:首先求收敛域,\(R=\lim\limits_{n\to\infty}\frac{n^2}{(n+1)^2}=1\),收敛区间是\((-1,1)\),当\(x = \pm1\)的时候幂级数是发散的。收敛域是\((-1,1)\).

\(s(x)=\sum\limits_{n=0}^\infty n^2x^n\)\(\frac{s(x)}x=\sum\limits_{n=0}^\infty n^2x^{n-1}\)

\(\int_0^x {(\frac{1}{x}s(x))} dx = \sum\limits_{n = 1}^\infty {n\int_0^x {n{x^{n - 1}}} } dx = \sum\limits_{n = 1}^\infty {n{x^n}dx} \)

虽然这里并没有求出和来,但是将\(n\)的次数降低了一次,得到更容易求和的幂级数。

再令\(t(x)=\sum\limits_{n=1}^\infty nx^n\),则\(\frac{{t(x)}}{x} = \sum\limits_{n = 1}^\infty {n{x^{n - 1}}} \)

\(\int_0^x {(\frac{{t(x)}}{x})dx = \sum\limits_{n = 1}^\infty {{x^n}} = \frac{x}{{1 - x}}} ( - 1 < x < 1,x \ne 0)\)

\(\therefore \frac{{t(x)}}{x} = \frac{1}{{{{(x - 1)}^2}}}( - 1 < x < 1,x \ne 0)\)

\(\therefore t(x) = \frac{x}{{{{(x - 1)}^2}}}( - 1 < x < 1)\)

\(\therefore \int_0^x {(\frac{1}{x}s(x))} dx = \frac{x}{{{{(x - 1)}^2}}}( - 1 < x < 1,x \ne 0)\)

\(\therefore \frac{{s(x)}}{x} = - \frac{{x + 1}}{{{{(x - 1)}^3}}}( - 1 < x < 1,x \ne 0)\)

\(\therefore s(x) = - \frac{{x(x + 1)}}{{{{(x - 1)}^3}}}( - 1 < x < 1)\)

这里就是先两次调整次数并逐项积分得到等比级数,然后求好的结果再求导数最后计算出和函数,步骤比较漫长,不过如果搞清楚了思路就可以迎刃而解了。

另外,对于一些特殊的数项级数,也可以通过构造幂级数的方法求解,例如求得\(\sum\limits_{n=0}^\infty\frac{x^n}{n+1}\)的和函数是\(s(x) = \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}} { - \frac{{\ln (1 - x)}}{x}, - 1 \leqslant x < 0或0 < x < 1} \\ {1,x = 0} \end{array}} \right.\)之后,令\(x =-1\)便可得到\(\sum\limits_{n=1}^\infty {\frac{(-1)^{n-1}}{n}}=\ln 2\).

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