求幂函数的收敛域的方法

高航·浙江大学
2016-08-11
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幂级数是应用非常广泛的一类函数,不过一个幂函数写出来以后,只有收敛才有意义,所以我们需要知道它在自变量取什么范围内是收敛的。另外,我们也关心幂级数是否可以写成和函数的形式。本文主要探讨这两个问题。因为在理论层面上有详尽的证明,因此本文并不介绍具体的定理以及证明,这些内容可以从一般的微积分或者数学分析教材上面获知。

下面我们只讨论形如\(\sum\limits_{n=0}^\infty a_nx^n\)的幂级数。对于\(\sum\limits_{n=0}^\infty a_n(x-x_0)^n(x_0\ne0)\)型幂级数,我们只需要令\(t=x-x_0\)就可以解决问题.那么我们可以得到这样的结论:

对于一个幂级数\(\sum\limits_{n=0}^\infty a_nx^n\),一定存在一个\(R\geq0,R可以取+\infty\),使得幂级数在\((-R,R)\)上收敛,在\([-R,R]\)以外发散(这里\(R\)可以取0和\(+\infty\),取0表示这个幂级数仅仅在\(x=0\)处收敛,其他处都发散;取\(+\infty\)表示这个幂级数在整条实数轴上都是收敛的)。这一结论的证明在教材中有详细的介绍,本文不予赘述。而对于幂级数在\(\pm R\)处的敛散性,并没有必然的结论。我们把\((-R,R)\)(如果\(R\ne0\))称为幂级数的收敛区间,把所有使得幂函数收敛的实数的集合称为幂级数的收敛域。显然,收敛域一定是在收敛区间的基础上讨论幂级数在\(\pm R\)处的敛散性得到的。因而求幂级数的收敛域可以分为以下两步:

第一步,求幂级数的收敛半径\(R\),从而得到收敛区间;

第二步,讨论幂级数在\(\pm R\)处的敛散性,得到收敛域。判别的时候利用正项级数敛散性判别或者交错级数判别的莱布尼兹判别法就行了,一般来说难度不会过大,因此本文不予赘述。

一般教材中提及了收敛半径的求法,并没有明确地说为何。这里就要涉及前面提到的判别正项级数收敛的比式判别法和根值判别法了。我们可以用将幂级数视为正项级数处理,按照比式判别法或者根值判别法的条件可以得到关于\(x \)的不等式,这里不等式的解集刚好就是幂级数的收敛区间。虽然这样的处理看上去不是很严密,但是可以帮助我们理解计算收敛半径的方法。

我们有求幂级数收敛半径的两个公式;

\(R=\lim\limits_{n\to\infty}\frac1{\sqrt[n]{|a_n|}}\)以及\(R=\lim\limits_{n\to\infty}\left|\frac{a_n}{a_{n+1}}\right|\),前者对应的是根值判别法,后者对应的是比式判别法。不过要注意这与判别法极限式有倒数的关系。具体该用哪一公式,还是需看的形式。如果它有次方,那么用根式判别式的形式,即前面那个公式要好一些。如果有阶乘或者常数的指数的形式,用比式判别法的形式,即后面那个公式要好一些。当然,这也不是绝对化的,主要看哪种形式的极限比较好求,也不是一概而论,还需要一定量的解题积累经验。由于有明确的公式可以套用,只涉及到公式的选择问题,因而这个问题并没有太大的技巧性。

例1:求幂级数\(\sum\limits_{n=0}^\infty \frac{x^n}{n\cdot 2^n}\)的收敛域

数列的通项有\(n\)次方,可以使用根值判别法的形式;两项求比值后形式也简明,也可以使用比式判别法的形式,极限都比较好求,因此不需要纠结用哪一个公式更好,直接做就可以了。这里对求收敛半径这一步骤用两种不同方法,而最后判别两端点处的敛散性方法是统一的。

解:第一步:求收敛半径和收敛区间

方法一:\(\lim\limits_{n \to \infty } \frac{1}{{\sqrt[n]{{\frac{1}{{n \cdot {2^n}}}}}}} = \lim\limits_{n \to \infty } 2\sqrt[n]{n} = 2\)

方法二:\(\lim \limits_{n \to \infty } \frac{{\frac{1}{{n \cdot {2^n}}}}}{{\frac{1}{{(n + 1){2^{n + 1}}}}}} = \lim\limits_{n \to \infty } \frac{{2(n + 1)}}{n} = 2\)

因此收敛半径是2,收敛区间是\((-2,2)\)

第二步:讨论幂级数在\(\pm2\)处的敛散性。

\(x =2\)时,级数为\(\sum\frac1n\),是发散的;

\(x = -2\)时,级数为\(\sum\frac{(-1)^n}n\),是收敛的。

因此收敛域是\((-2,2]\)

例2:求幂级数\(\sum\limits_{n=0}^\infty \frac{2^n}{n^2+1}x^n\)的收敛域

这里如果用根式判别法的形式,\(\sqrt[n]{n^2+1}\)看上去比较棘手;因此用比式判别法的形式比较好。

解:\(R = \lim \limits_{n \to \infty } \frac{{\frac{{{2^n}}}{{{n^2} + 1}}}}{{\frac{{{2^{n + 1}}}}{{{{(n + 1)}^2} + 1}}}} = \lim\limits_{n \to \infty } \frac{{{n^2} + 2n + 2}}{{2({n^2} + 1)}} = \frac{1}{2}\)

因此收敛半径是\(1\over2\),收敛区间是\((-\frac12,\frac12)\).

\(x =\frac12\)时,\(\sum\frac1{n^2+1}\)是收敛的;由绝对收敛级数一定收敛知,\(x = -\frac12\)时,\(\sum\frac{(-1)^n}{n^2+1}\)是收敛的,因此收敛域是.

下一篇文章中我们重点来讨论求幂级数和函数的方法。

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