一种特殊的定积分及应用

  • 定积分
高航·浙江大学
2016-08-11
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如果定积分的积分区间关于原点对称,我们经常考虑函数的奇偶性,因为奇函数或偶函数在关于原点对称的区间上的积分可以简化。本文介绍其中一种特殊的定积分极其应用。

定理:设\(f(x)\,,g(x)\)\([-l,l](l>0)\)上连续,\(g(x)\)是偶函数,且满足\(f(x) + f( - x) = A(A\text{是常数})\),则\(\int_{-l}^lf(x)g(x)dx=A\int_0^lg(x)dx\).

证明:\(\because f(x) = \frac{{f(x) + f( - x)}}{2} + \frac{{f(x) - f( - x)}}{2} = \frac{A}{2} + \frac{{f(x) - f( - x)}}{2}\)

\(\begin{gathered} \therefore \int_{ - l}^l {f(x)g(x)dx = \int_{{\text{ - }}l}^l {\left( {\frac{A}{2} + \frac{{f(x) - f( - x)}}{2}} \right)g(x)dx} } \hfill \\ = \int_{ - l}^l {\frac{A}{2}g(x)dx} + \int_{ - l}^l {\frac{{f(x) - f( - x)}}{2}g(x)dx} \hfill \\ \end{gathered} \)

\(\because g(x)\)是偶函数,\(\therefore \int_{-l}^l\frac A2g(x)dx=A\int_0^lg(x)dx\)

\(\because \frac{f(x)-f(-x)}2\)是奇函数,\(\therefore \int_{-l}^l\frac{f(x)-f(-x)}2g(x)dx=0\)

\(\therefore\int_{-l}^lf(x)g(x)dx=A\int_0^lg(x)dx\)

上述定理对于计算一类特殊形式的积分很有价值。如果积分区间是关于原点对称的,被积函数是两个函数相乘的形式,即\(f(x)g(x)\)的形式,其中一个是偶函数(不妨设是\(g(x)\)),那么我们就可以计算\(f(x)+f(-x)\)来看是否为一常数.如果经验证后\(f(x) + f( - x) = A(A\text{是常数})\)成立,那么使用此法就非常方便了,可以把复杂的积分化简单。

例1:\(\int_{ - 1}^1 {\frac{{{x^2}}}{{{2^x} + 1}}} dx\)

这里直接计算积分是比较困难的,注意到积分区间\([-1,1]\)是关于原点对称的,而且被积函数可以写成\(\frac1{2^x+1}\cdot x^2\),其中\(g(x)=x^2\)是偶函数,则我们就可以先验证\(f(x)=\frac1{2^x+1}\)是否满足\(f(x) + f( - x) = A(A\text{是常数})\)成立。如果成立的话问题就不难做了。

解:令\(f(x)=\frac1{2^x+1}\),则\(f(x) + f( - x) = \frac{1}{{{2^x} + 1}} + \frac{1}{{{2^{ - x}} + 1}} = \frac{1}{{{2^x} + 1}} + \frac{{{2^x}}}{{{2^x} + 1}} = 1\).

\(g(x)=x^2\)是偶函数,由上述定理

\(\int_{ - 1}^1 {\frac{{{x^2}}}{{{2^x} + 1}}} dx=\int_0^1x^2dx=\frac13\).

例2:\(\int_{-\frac\pi2}^{\frac\pi2}|\sin x|\arctan e^x dx\).

积分区间同样是关于原点对称的,而\(|\sin x|\)是偶函数,\(\arctan e^x+\arctan e^{-x}=\frac\pi2\),这样就可以使用上面的定理了。

解:\(|\sin x|\)是偶函数,而\(\arctan e^x+\arctan e^{-x}=\frac\pi2\),由上述定理有:

\(\int_{-\frac\pi2}^{\frac\pi2}|\sin x|\arctan e^x dx=\frac\pi2\int_0^\frac\pi2\sin xdx=\frac\pi2\).

例3:\(\int_{-\frac\pi2}^{\frac\pi2}\cos x\arccos xdx\)

解:\(\cos x\)是偶函数,而\(\arccos x+\arccos(-x)=\pi\),由上述定理,有:

\(\int_{-\frac\pi2}^{\frac\pi2}\cos x\arccos xdx=\pi\int_0^\frac\pi2cosxdx=\pi\).

可见,这一种特殊定积分对于解决一类对称区间上的定积分计算的问题非常有帮助,可以起到迅速化简的作用。

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