求定积分的一些技巧

  • 定积分
高航·浙江大学
2016-08-08
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我们知道,如果求得被积函数的原函数,就可以根据“牛顿-莱布尼兹公式”来计算定积分。这是定积分最常见的求法,但是谈不上有什么技巧性,就算找寻原函数的过程有一定难度,这也属于不定积分的一些技巧。但是,有时候被积函数的原函数很难寻找或者索性不是初等函数,我们仍然可以通过一些技巧在不借助原函数的情况下计算定积分。

  • 利用函数的奇偶性

如果函数积分区间是关于原点对称的(即形如\([-l,l]\)),我们可以考虑利用奇函数和偶函数在对称区间上的性质,起到化简的作用。

对于奇函数\(f(x)\)\(\int_{-l}^lf(x) dx=0\);对于偶函数\(f(x)\)\(\int_{-l}^lf(x) dx=2\int_0^l f(x)dx\)。可以看到,如果积分区间是关于原点对称的,我们可以把被积函数写成一个奇函数与一个偶函数的和,然后利用此性质起到化难为易的作用。即对于函数\(f(x)\),若令\(g(x)=\frac{f(x)-f(-x)}2,h(x)=\frac{f(x)+f(-x)}2\),则\(f(x)=g(x)+h(x)\)\(g(x),h(x)\)分别是奇函数和偶函数。这样就把较复杂的积分变简单了,即\(\int_{-l}^lf(x) dx=2\int_0^lh(x)dx\)

例1:\(\int_{ - 2}^0 {\frac{{(x + 2)dx}}{{{x^2} + 2x + 2}}} \)

分析:虽然积分区间不是关于原点对称的,但是被积函数的分母是关于\(x = -1\)对称的,可以作换元\(t=x+1\).

解:\(\begin{gathered} \int_{ - 2}^0 {\frac{{(x + 2)dx}}{{{x^2} + 2x + 2}}} = \int_{{\text{ - }}1}^1 {\frac{{(t + 1)dt}}{{{t^2} + 1}}dt = \int_{ - 1}^1 {\frac{t}{{{t^2} + 1}}} dt + \int_{ - 1}^1 {\frac{1}{{{t^2} + 1}}} dt} \\ =2\int_0^1\frac1{t^2+1}dt = \arctan t\left| {\begin{array}{*{20}{c}} 1 \\ { - 1} \end{array} = \frac{\pi }{2}} \right. \hfill \\ \end{gathered} \)

使用奇函数的积分性质问题就很简单了。

例2:\(\int_{ - 2}^2 {x\ln (1 + {e^x})} dx\)

分析:注意到积分区间关于原点对称,苦于被积函数既不是奇函数又不是偶函数,考虑把它写成一个奇函数和一个偶函数的和。

解:令\(f(x)=x\ln(1+e^x)\),则\(\frac{f(x)-f(-x)}2=\frac1 2x\left[\ln(1+e^x)+\ln(1+e^{-x})\right]=\frac 1 2x\ln(2+e^x+e^{-x})\)\(\frac{f(x)+f(-x)}2=\frac1 2x\left[\ln(1+e^x)-\ln(1+e^{-x})\right]=\frac 1 2x^2\).

因而\(\int_{ - 2}^2 {x\ln (1 + {e^x})} dx=\int_{-2}^2 \frac1 2x\ln(2+e^x+e^{-x})dx+\int_{-2}^2\frac1 2x^2dx=\int_0^2x^2dx=\frac8 3\).

  • 换元代换法

定积分中常见的换元法是通过换元求原函数。有的时候虽然原函数不易求得,但是也可以通过换元代换得到重要的递推式,一般为关于定积分的一个方程,这就起到了不求原函数的情况下求得定积分的作用。一般来说,对于积分区间\([a,b]\)常做换元\(t=a+b-x\).

例3:计算\(\int_0^\pi \frac{x\sin x}{(1+\cos^2x)}dx\)

分析:求此函数的原函数是比较繁琐的,但是积分区间很特殊,刚好使用\(t=\pi-x\)换元的话,关于\(\sin x\)的部分是不会改变的。

解:令\(t=\pi-x\)\(\int_0^\pi {\frac{{x\sin x}}{{1 + {{\cos }^2}x}}} dx = \int_0^\pi {\frac{{(\pi - t)\sin (\pi - t)}}{{1 + {{\cos }^2}(\pi - t)}}d(\pi - t) = \int_0^\pi {\frac{{(\pi - t)\sin t}}{{1 + {{\cos }^2}t}}} dt} \)

\(\therefore \int_0^\pi {\frac{{x\sin x}}{{1 + {{\cos }^2}x}}} dx = \frac{1}{2}\pi \int_0^\pi {\frac{{\sin x}}{{1 + {{\cos }^2}x}}dx} = - \frac{\pi }{2}\int_0^\pi {\frac{{d(\cos x)}}{{1 + {{\cos }^2}x}} = \frac{{{\pi ^2}}}{4}} \)

注:这里有结论:\(\int_0^\pi {xf(\sin x)dx = \pi \int_0^\pi {f(\sin x)dx} } \)

例4:计算\(I = \int_0^{\frac{\pi }{2}} {\frac{1}{{1 + {{\tan }^5}x}}} dx\)

分析:求此函数的原函数很麻烦,而这个积分区间也很特殊,考虑换元\(t=\frac\pi 2-x\),刚好由诱导公式可以进行变形。

解:令\(t=\frac\pi 2-x\),则\(I = \int_0^{\frac{\pi }{2}} {\frac{{d(\frac{\pi }{2} - t)}}{{1 + {{\tan }^5}(\frac{\pi }{2} - x)}} = \int_0^{\frac{\pi }{2}} {\frac{{dt}}{{1 + {{\cot }^5}t}}} } = \int_0^{\frac{\pi }{2}} {\frac{{{{\tan }^5}x}}{{1 + {{\tan }^5}x}}} dx\)

\(2I = \int_0^{\frac{\pi }{2}} {\frac{1}{{1 + {{\tan }^5}x}}} dx + \int_0^{\frac{\pi }{2}} {\frac{{{{\tan }^5}x}}{{1 + {{\tan }^5}x}}} dx = \frac{\pi }{2}\),\(\therefore I=\frac\pi4\)

如果积分区间有某种特殊性,尤其是有三角函数的情况,可以使用这种技巧,这将大大简化积分的运算。

  • 消项法

有些积分不易计算,但是经过一些变形,有些项可以互相抵消,就可以避开复杂的计算了。

例5:\(I = \int_0^1 {\frac{{\ln (1 + x)}}{{1 + {x^2}}}} dx\)

分析:\(x=\tan t\)是很好的一种换元思路,换元后求\(\int_0^{\frac{\pi }{4}} {\ln (1 + \tan t)dt} \)体现了消项的思路。

解:令\(x=\tan t\),则\(\begin{gathered} I = \int_0^{\frac{\pi }{4}} {\ln (1 + \tan t)dt} = \int_0^{\frac{\pi }{4}} {\ln (\frac{{\sin t + \cos t}}{{\cos t}})dt} \hfill \\ = \int_0^{\frac{\pi }{4}} {\ln (\frac{{\sqrt 2 \cos (\frac{\pi }{4} - t)}}{{\cos t}})dt = } \int_0^{\frac{\pi }{4}} {\frac{1}{2}\ln 2} dt + \int_0^{\frac{\pi }{4}} {\ln \cos (} \frac{\pi }{4} - t)dt - \int_0^{\frac{\pi }{4}} {\ln \cos t} dt \hfill \\ = \frac{\pi }{8}\ln 2 \hfill \\ \end{gathered} \)

此方法巧妙之处在于,变形以后,难算的积分消掉了。

  • 化为二重积分

一般来说,我们先把二重积分转化为定积分求解问题,二重积分比定积分复杂,所以看上去这与化难为易的原则相悖。但是有时候化成二重积分反而易作,因为可以交换积分次序或者改用极坐标形式化简。这时反而是一种似拙实巧的行为。计算概率积分\(\int_{-\infty}^{+\infty}e^{-x^2}dx\)就是最经典的一个例子。

例6:\(I = \int_0^1 {\frac{{{x^3} - x}}{{\ln x}}} dx\)

分析:直接进行积分没有好的思路,注意到\(\frac{{{x^3} - x}}{{\ln x}} = \int_1^3 {{x^y}} dy\),考虑转化为二重积分,并交换积分次序。

解:\(I = \int_0^1 {dx} \int_1^3 {{x^y}dy} = \int_1^3 {dy} \int_0^1 {{x^y}} dx = \int_1^3 {\frac{1}{{y + 1}}} dy = \ln 2\)

总结:虽然通过牛顿-莱布尼兹公式可以解决大部分定积分问题,但也有原函数难求或者不能用初等函数表示的情况,有时候从积分区间的特殊性入手,会有很多解决问题的技巧。

 

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