求定积分的一些技巧

我们知道，如果求得被积函数的原函数，就可以根据“牛顿-莱布尼兹公式”来计算定积分。这是定积分最常见的求法，但是谈不上有什么技巧性，就算找寻原函数的过程有一定难度，这也属于不定积分的一些技巧。但是，有时候被积函数的原函数很难寻找或者索性不是初等函数，我们仍然可以通过一些技巧在不借助原函数的情况下计算定积分。

• 利用函数的奇偶性

如果函数积分区间是关于原点对称的（即形如$[-l,l]$），我们可以考虑利用奇函数和偶函数在对称区间上的性质，起到化简的作用。

对于奇函数$f(x)$有$\int_{-l}^lf(x) dx=0$；对于偶函数$f(x)$有$\int_{-l}^lf(x) dx=2\int_0^l f(x)dx$。可以看到，如果积分区间是关于原点对称的，我们可以把被积函数写成一个奇函数与一个偶函数的和，然后利用此性质起到化难为易的作用。即对于函数$f(x)$，若令$g(x)=\frac{f(x)-f(-x)}2,h(x)=\frac{f(x)+f(-x)}2$，则$f(x)=g(x)+h(x)$，$g(x),h(x)$分别是奇函数和偶函数。这样就把较复杂的积分变简单了，即$\int_{-l}^lf(x) dx=2\int_0^lh(x)dx$

例1：$\int_{ - 2}^0 {\frac{{(x + 2)dx}}{{{x^2} + 2x + 2}}}$

分析：虽然积分区间不是关于原点对称的，但是被积函数的分母是关于$x = -1$对称的，可以作换元$t=x+1$.

解：$\begin{gathered} \int_{ - 2}^0 {\frac{{(x + 2)dx}}{{{x^2} + 2x + 2}}} = \int_{{\text{ - }}1}^1 {\frac{{(t + 1)dt}}{{{t^2} + 1}}dt = \int_{ - 1}^1 {\frac{t}{{{t^2} + 1}}} dt + \int_{ - 1}^1 {\frac{1}{{{t^2} + 1}}} dt} \\ =2\int_0^1\frac1{t^2+1}dt = \arctan t\left| {\begin{array}{*{20}{c}} 1 \\ { - 1} \end{array} = \frac{\pi }{2}} \right. \hfill \\ \end{gathered}$

使用奇函数的积分性质问题就很简单了。

例2：$\int_{ - 2}^2 {x\ln (1 + {e^x})} dx$

分析：注意到积分区间关于原点对称，苦于被积函数既不是奇函数又不是偶函数，考虑把它写成一个奇函数和一个偶函数的和。

解：令$f(x)=x\ln(1+e^x)$，则$\frac{f(x)-f(-x)}2=\frac1 2x\left[\ln(1+e^x)+\ln(1+e^{-x})\right]=\frac 1 2x\ln(2+e^x+e^{-x})$，$\frac{f(x)+f(-x)}2=\frac1 2x\left[\ln(1+e^x)-\ln(1+e^{-x})\right]=\frac 1 2x^2$.

因而$\int_{ - 2}^2 {x\ln (1 + {e^x})} dx=\int_{-2}^2 \frac1 2x\ln(2+e^x+e^{-x})dx+\int_{-2}^2\frac1 2x^2dx=\int_0^2x^2dx=\frac8 3$.

• 换元代换法

定积分中常见的换元法是通过换元求原函数。有的时候虽然原函数不易求得，但是也可以通过换元代换得到重要的递推式，一般为关于定积分的一个方程，这就起到了不求原函数的情况下求得定积分的作用。一般来说，对于积分区间$[a,b]$常做换元$t=a+b-x$.

例3：计算$\int_0^\pi \frac{x\sin x}{(1+\cos^2x)}dx$

分析：求此函数的原函数是比较繁琐的，但是积分区间很特殊，刚好使用$t=\pi-x$换元的话，关于$\sin x$的部分是不会改变的。

解:令$t=\pi-x$，$\int_0^\pi {\frac{{x\sin x}}{{1 + {{\cos }^2}x}}} dx = \int_0^\pi {\frac{{(\pi - t)\sin (\pi - t)}}{{1 + {{\cos }^2}(\pi - t)}}d(\pi - t) = \int_0^\pi {\frac{{(\pi - t)\sin t}}{{1 + {{\cos }^2}t}}} dt}$

$\therefore \int_0^\pi {\frac{{x\sin x}}{{1 + {{\cos }^2}x}}} dx = \frac{1}{2}\pi \int_0^\pi {\frac{{\sin x}}{{1 + {{\cos }^2}x}}dx} = - \frac{\pi }{2}\int_0^\pi {\frac{{d(\cos x)}}{{1 + {{\cos }^2}x}} = \frac{{{\pi ^2}}}{4}}$

注：这里有结论：$\int_0^\pi {xf(\sin x)dx = \pi \int_0^\pi {f(\sin x)dx} }$

例4：计算$I = \int_0^{\frac{\pi }{2}} {\frac{1}{{1 + {{\tan }^5}x}}} dx$

分析：求此函数的原函数很麻烦，而这个积分区间也很特殊，考虑换元$t=\frac\pi 2-x$，刚好由诱导公式可以进行变形。

解：令$t=\frac\pi 2-x$，则$I = \int_0^{\frac{\pi }{2}} {\frac{{d(\frac{\pi }{2} - t)}}{{1 + {{\tan }^5}(\frac{\pi }{2} - x)}} = \int_0^{\frac{\pi }{2}} {\frac{{dt}}{{1 + {{\cot }^5}t}}} } = \int_0^{\frac{\pi }{2}} {\frac{{{{\tan }^5}x}}{{1 + {{\tan }^5}x}}} dx$

$2I = \int_0^{\frac{\pi }{2}} {\frac{1}{{1 + {{\tan }^5}x}}} dx + \int_0^{\frac{\pi }{2}} {\frac{{{{\tan }^5}x}}{{1 + {{\tan }^5}x}}} dx = \frac{\pi }{2}$,$\therefore I=\frac\pi4$

如果积分区间有某种特殊性，尤其是有三角函数的情况，可以使用这种技巧，这将大大简化积分的运算。

• 消项法

有些积分不易计算，但是经过一些变形，有些项可以互相抵消，就可以避开复杂的计算了。

例5：$I = \int_0^1 {\frac{{\ln (1 + x)}}{{1 + {x^2}}}} dx$

分析：$x=\tan t$是很好的一种换元思路，换元后求$\int_0^{\frac{\pi }{4}} {\ln (1 + \tan t)dt}$体现了消项的思路。

解：令$x=\tan t$，则$\begin{gathered} I = \int_0^{\frac{\pi }{4}} {\ln (1 + \tan t)dt} = \int_0^{\frac{\pi }{4}} {\ln (\frac{{\sin t + \cos t}}{{\cos t}})dt} \hfill \\ = \int_0^{\frac{\pi }{4}} {\ln (\frac{{\sqrt 2 \cos (\frac{\pi }{4} - t)}}{{\cos t}})dt = } \int_0^{\frac{\pi }{4}} {\frac{1}{2}\ln 2} dt + \int_0^{\frac{\pi }{4}} {\ln \cos (} \frac{\pi }{4} - t)dt - \int_0^{\frac{\pi }{4}} {\ln \cos t} dt \hfill \\ = \frac{\pi }{8}\ln 2 \hfill \\ \end{gathered}$

此方法巧妙之处在于，变形以后，难算的积分消掉了。

• 化为二重积分

一般来说，我们先把二重积分转化为定积分求解问题，二重积分比定积分复杂，所以看上去这与化难为易的原则相悖。但是有时候化成二重积分反而易作，因为可以交换积分次序或者改用极坐标形式化简。这时反而是一种似拙实巧的行为。计算概率积分$\int_{-\infty}^{+\infty}e^{-x^2}dx$就是最经典的一个例子。

例6：$I = \int_0^1 {\frac{{{x^3} - x}}{{\ln x}}} dx$

分析：直接进行积分没有好的思路，注意到$\frac{{{x^3} - x}}{{\ln x}} = \int_1^3 {{x^y}} dy$，考虑转化为二重积分，并交换积分次序。

解：$I = \int_0^1 {dx} \int_1^3 {{x^y}dy} = \int_1^3 {dy} \int_0^1 {{x^y}} dx = \int_1^3 {\frac{1}{{y + 1}}} dy = \ln 2$

总结：虽然通过牛顿-莱布尼兹公式可以解决大部分定积分问题，但也有原函数难求或者不能用初等函数表示的情况，有时候从积分区间的特殊性入手，会有很多解决问题的技巧。