我们知道,可导函数一定连续。这说的是:如果函数f(x)可导,那么函数f(x)一定连续。反过来就不一定成立了,连续函数不一定可导,比如函数y=|x|是连续函数,但是在x=0处不可导。但是很多同学把“可导函数一定连续”当成了“导函数一定连续”,误认为“如果函数f(x)可导,那么函数f′(x)连续”。虽然很多基本初等函数的导函数也是连续的,但是这个说法是没有依据的。我们可以举出一个可导函数,它的导函数不连续。
比如函数f(x)=x2cos(1x),并补充定义f(0)=0,通过补充定义使得函数成为连续函数。首先此函数在(−∞,0)和(0,+∞)上都是可导的,要说明此函数可导只需说明它在x=0处可导。注意到limx→0f(x)−f(0)x−0=limx→0x2cos(1x)x=limx→0xcos(1x)=0,因此f′(0)存在且f′(0)=0.因而函数是处处可导的。但是x≠0时,f′(x)=2xcos(1x)+sin(1x),这说明limx→0f′(x)不存在,也就是说导函数在x=0处不连续。这就是一个函数可导但是导函数不连续的例子。
不过,虽然导函数不一定连续,但是我们可以肯定的是,导函数不存在第一类间断点。这是一个很有意思的结果,它表明导函数不连续的情况,它只会出现第二类间断点。上文所举的例子中,x=0就是f′(x)的第二间断点中的震荡间断点。关于此定理的证明可查阅相关文献。
什么时候我们可以说导数连续呢?这里我们有导数极限定理:
设函数f(x)在U(x0)上连续,在U0(x)上可导,极限limx→x0f′(x)存在,则函数f(x)在x0处可导,且f′(x0)=limx→x0f′(x).
这也就表明了导函数在x=x0处连续。这需要先保证导函数的极限在该点处存在。上面所举的例子,导函数在该处极限不存在。这个结论的证明并不复杂,只需要简单使用中值定理,因此不予赘述。这个定理也是判断分段函数在“分界点”导数连续性的依据。
例1:设f(x)={1−√1−xx,x<0a+bx,x⩾0,(1)求a的值使f(x)处处连续;(2)求b的值,使f(x)处处可导
解:(1)显然函数在(−∞,0)和(0,+∞)上都连续,只需要使得函数在x=0处连续。
limx→0+f(x)=a,limx→0−f(x)=limx→0−1−√1−xx=12
limx→0+f(x)=limx→0−f(x)∴a=12
(2)可导函数一定连续,∴a=12显然函数在(−∞,0)和(0,+∞)上都可导,只需要使得函数在在x=0处可导。
f′(x+0)=limx→0+f(x)−f(0)x−0=limx→0+bxx=b
f′(0−0)=limx→0−f(x)−f(0)x−0=limx→0−1−12x−√1−xx2=18
∴b=18
例2:设f(x)具有二阶导数,f(a)=0,g(x)={f(x)x−a,x≠a,f′(a),x=a,求g′(x)并证明g′(x)在x=a处连续
解:x≠a时,g′(x)=f′(x)(x−a)−f(x)(x−a)2
g′(a)=limx→ag(x)−g(a)x−a=limx→af(x)−f′(a)(x−a)(x−a)2=limx→af(a)+f′(a)(x−a)+12f″
\therefore g'(x)=\left\{\begin{array}{}\frac{f’(x)(x-a)-f(x)}{(x-a)^2},x\ne a\\ \frac{1}{2}f'’(a),x=a\end{array}\right.
\lim\limits_{x\to a}g'(x)=\lim\limits_{x\to a}\frac{f'(x)(x-a)-f(x)}{(x-a)^2}=\\ \lim\limits_{x\to a}\frac{f'(x)(x-a)-[f(a)+f'(a)(x-a)+{1\over2}f''(a)(x-a)^2+o((x-a)^2)}{(x-a)^2}\\ =\lim\limits_{x\to a}\left[\frac{f'(x)-f'(a)}{x-a}-{1\over2}f''(a)\right]=\frac1 2f''(a)
\thereforeg'(x)在x=a处连续.
注意:这里无法断定f''(x)的连续性因此不能贸然使用洛必达法则,
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