如何更好地理解数学概念

  • 数学概念
高航·浙江大学
2016-08-01
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进入高等数学的学习阶段以来,数学概念理解起来也越来越难。如极限的“\(\epsilon-N\)”和“\(\epsilon-\delta\)”定义,就让很多初学者望而生畏。而如果对数学概念的理解有问题,后面的学习也会显得很吃力。那么应该如何更好地理解数学概念呢?

首先,我们更习惯与原来的那种看上去不是很严格的“定义”。纵使我们不清楚“\(\epsilon-N\)”式的定义,我们也能大致明白“极限”是怎么回事。比如说,如果一个数列\(\{a_n\}\),随着\(n\)的增大,数列的项越来越接近一个实数,并且可以“无限地靠近”它。那么这个实数就是我们所说的数列的极限。毫无疑问,这种“定义”是非常粗糙的,但是比较好理解。我们很容易就可以理解\(\{{1\over n}\} \)的极限是\(0\)。虽然说更精确、更“数学”的定义很重要,比如要严格进行证明肯定不能凭借这么“粗糙”的定义完成,但是并不能说这种简单的理解就是完全错误的。它有利于我们更好地理解严格的定义。下面我们就来解读一下“\(\epsilon-N\)”式的定义,看看是否符合“能无限靠近”。

对于任意实数\(\epsilon>0\),都存在一个正整数\(N\),使得当\(n\geq N\)时,\(|a_ n-A|<\epsilon\),则称数列\(\{a_n\}\)收敛于\(A\).这里\(\epsilon\)就是数列的项与\(A\)之间允许出现的最大差距。这一定义就表明从某一项开始,数列的项与\(A\)的差距总会比\(\epsilon\)小。由于\(\epsilon\)的任意性,我们就可以理解为:数列的项可以“任意地”接近\(A\),这就与粗糙的理解相吻合了。也可以理解为“\(\epsilon-N\)”定义是“无限地靠近”这种粗糙的理解的严格化的数学表述。另外,函数的极限\(\epsilon-\delta\)定义也是同理的。

再如“无穷大”的概念,很多人把“无穷大”理解为“绝对值很大很大的实数”。虽然严格上来讲无穷大并不能和很大的数混同,但是这样的理解对于理解“无穷大”这个概念还是有所帮助的。无穷大,就是在自变量的某个变化过程中绝对值无限增大的变量或函数。当然这也是描述性的语言,不能作为严格的定义。那么怎么用数学语言来描述呢?比方说数列趋向于正无穷大,怎么说呢?对于任意正数,都能找到数列的项超过它,那么数列的项就可以“要多大有多大”了。写成数学符号就是:

数列\(\{a_n\}\),满足对任意实数\(M>0\),都存在\(n_0\),使得\(a_{n_0}>M\),就称这个数列\(\{a_n\}\)是(正)无穷大。同样我们也可以定义函数的无穷大。

虽然我们不能只满足于对数学概念粗糙的叙述性的描述,但是这种描述是比数学语言来说容易理解的。我们可以试着自己用更严密的数学语言来表达,或者带着这样的理解去解读数学性的定义。我们会发现这样看的话,数学定义就不至于太抽象了。

有时候一个数学概念虽然刚学的时候可能不是很明白,但是学到后面的时候再回头看,才真正理解其含义。如线性代数的矩阵,刚开始接触的时候对于矩阵是何物都会有很多困惑。但是后面学完了线性空间、线性变换再回头看矩阵,看向量,就能明白其真正含义了。所以出现这种情况的时候也不要感到气馁,说不定再深入学习以后就有“柳暗花明又一村”的感受了。

 

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