无穷的神奇之处

sand·西北大学
2015-04-10
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当积分微元分的很大的时候,每一个微元的误差是很大的,但是微元是少的。随着分法变细,单个微元误差变小,微元是多的。总体来看,误差是怎么样的呢?积分结论告诉我们,总体误差会变小直至逼近真实值。

在接近极限的前一步,每一个微元的误差或许只是三个点(可以认为是一个最小面元),那么再进一步,微元误差只是一个点,这是什么意思呢?就是说每个微元其实跟所求的图形边界已经重合(数学上的点是没有大小的),那么这些微元的求和就是我们所求得的函数极限,这个值就是准确值。为什么呢?

我们能通过结论给出这样一个非数学语言的假设:随着分法变细,微元数量增加的“速度”不能抵消它面积变小的“速度”,也就是说虽然每次分法变细后微元个数会增加,但是以微元更加逼近函数曲线,更好拟合它,更加模拟化,更加不能维持它原来的较大的误差,所以整体,误差是越来越小的。。。

这是一个很有趣的现象,有意思的在于它对问题的处理方法,使用的是无穷,是极限,是一种理想化的数学方法数学模型处理更加普遍化更加接近现实的问题。数学的发明也就不仅是少数贵族玩的时尚,它成就了普通人的乐趣。

说到无穷,又想到关于哪个数学家(名字忘了)对于无穷的解释,什么叫无穷呢?——“假如一家旅馆有无穷多个房间,每个房间住满了顾客,(限制每个房间只可以住一个人),半夜你去敲门住店,店老板于是让一号房间的旅客住到了二号房间,以此类推,最后在保证每个人有房间住的前提下,一号房间居然被空出来了”,,,这就是无穷。。。还有一个是关于数学家康托的,康托证明了一个线上的点和一个面上的点&一个空间封闭区域里的点是一样多的。无穷的概念 。。。。


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