第一届MCM时，就有美国70所大学90个队参加，到1992年已经有美国及其它一些国家的189所大学292个队参加。2022年美国大学生数学建模竞赛吸引了包括美国、中国在内的来自全球各个国家和地区的27205支队伍参赛，竞赛已经成为一种国际性竞赛，影响极其广泛。

表1. 历年美赛报名队伍总数

从图1中可以看出，近几年美赛报名总队伍数量达到了饱和，逐渐趋近于27000个队伍。下面，让我们一起建立几种数学建模常用的预测模型，来预测2023年美赛报名队伍总数吧！主要包括：微分方程模型、灰色预测模型、时间序列分析模型、曲线非线性拟合模型和LSTM预测模型等。文末还有相应的MATLAB程序代码哦！

2.1微分方程模型

我们知道，参与美赛评阅的评委数量和评阅时间是有限的，组委会在规定的时间内，只能评阅完一部分的参赛论文。随着参赛报名数量的增加，评委数量、评阅时间条件等对参赛报名人数再增长的限制作用将越来越显著。

我们假设：如果在参赛报名人数较少时，我们可以把增长率 r 看成常数，那么当参赛报名人数增加到一定数量之后，就应当视 r 为一个随着参赛报名人数的增加而减小的量，即将增长率 r 表示为参赛报名人数 x(t) 的函数 r(x) ，且 r(x) 为 x 的减函数。因此，我们可以建立一个微分方程模型：

这是一个可分离变量的方程，其解为：

图2 是微分方程模型预测历年美赛报名队伍总数的结果，从图中可以看出，2023年美赛报名队伍总数预测为：27224个。

图2. 微分方程模型预测历年美赛报名队伍总数。

2.2 灰色预测模型

灰色预测模型是基于关联空间、光滑离散函数等概念定义灰导数与灰微分方程，进 而用离散数据列建立微分方程形式的动态模型，由于这是本征灰色系统的基本模型，而 且模型是近似的、非唯一的，故这种模型为灰色模型，记为 GM（Grey Model），即灰色模型是利用离散随机数经过生成变为随机性被显著削弱而且较有规律的生成数，建立起的微分方程形式的模型，这样便于对其变化过程进行研究和描述。

灰色预测是指利用 GM 模型对系统行为特征的发展变化规律进行估计预测，同时也可以对行为特征的异常情况发生的时刻进行估计计算，以及对在特定时区内发生事件的未来时间分布情况做出研究等等。这些工作实质上是将“随机过程”当作“灰色过程”，“随机变量”当作“灰变量”，并主要以灰色系统理论中的 GM(1,1)模型来进行处理。灰色预测在工业、农业、商业等经济领域，以及环境、社会和军事等领域中都有广泛的应用。特别是依据目前已有的数据对未来的发展趋势做出预测分析。

通过构建灰色预测模型，2023年美赛报名队伍总数预测为：27325个。

2.3 时间序列预测模型

时间序列是按时间顺序排列的、随时间变化且相互关联的数据序列。分析时间序 列的方法构成数据分析的一个重要领域，即时间序列分析。时间序列预测技术就是通过对预测目标自身时间序列的处理，来研究其变化趋势的。一个时间序列往往是几类变化形式的叠加或耦合。当时间序列的变动表现为二次曲线趋势时，则需要用三次指数平滑法。三次指数平

滑是在二次指数平滑的基础上，再进行一次平滑，其计算公式为：

三次指数平滑法的预测模型为：

指数平滑预测模型是以时刻t 为起点，综合历史序列的信息，对未来进行预测的。选择合适的加权系数α 是提高预测精度的关键环节。根据实践经验，α 的取值范围一 般以 0.1～0.3 为宜。α 值愈大，加权系数序列衰减速度愈快，所以实际上α 取值大小 起着控制参加平均的历史数据的个数的作用。α 值愈大意味着采用的数据愈少。

通过构建时间序列的模型，2023年美赛报名队伍总数预测为：27331个。

2.4 曲线非线性拟合模型

拟合：已知有限个数据点，求近似函数，不要求过已知数据点，只要求在某种意义下它在这些点上的总偏差最小。曲线拟合问题的提法是，已知一组二维数据，即平面上的n 个点，寻求一个函数曲线y = f (x) ，使 f (x)在某种准则下与所有数据点最为接近，即曲线拟合得最好。

从图1中可以看出，近几年美赛报名总队伍数量达到了饱和，逐渐趋近于27000个队伍。因此，本文中使用Logistic 曲线，基于最小二乘法做非线性拟合，预测2023年美赛报名队伍总数。

使用Logistic 曲线，基于最小二乘法做非线性拟合，预测2023年美赛报名队伍总数为：27328个。

 图2. 微分方程模型预测历年美赛报名队伍总数。

2.5 LSTM预测模型

LSTM模型的一个常见用途是对长时间序列数据进行学习预测，例如得到了某商品前一年的日销量数据，我们可以用LSTM模型来预测未来一段时间内该商品的销量。但对于不熟悉神经网络或者对没有了解过RNN模型的人来说，想要看懂LSTM模型的原理是非常困难的，但有些时候我们不得不快速上手搭建一个LSTM模型来完成预测任务。

图3. LSTM预测模型原理图。

图4. LSTM预测美赛历年报名队伍总数的模型原理图。

使用LSTM预测模型，预测2023年美赛报名队伍总数为：27278个。

综上所述，本文建立了几种数学建模常用的预测模型，预测了2023年美赛报名队伍总数吧！主要包括：微分方程模型、灰色预测模型、时间序列分析模型、曲线非线性拟合模型和LSTM预测模型等。预测的结果汇总如表2和图5所示。

表2. 不同预测模型的预测结果。

图5. 不同预测模型的预测结果。

每年的美国大学生数学建模竞赛（MCM/ICM）成绩公布后，都是“几家欢喜几家愁”，祝愿同学们在今年2023年竞赛中可以取得好成绩！也希望获奖的同学们戒骄戒躁，学以致用，将数学建模应用在生活、科研和日常的学习中。

MatLab程序代码

function []=greymodel(y)

% 本程序主要用来计算根据灰色理论建立的模型的预测值。

% 应用的数学模型是 GM(1,1)。

% 原始数据的处理方法是一次累加法。

y=input('请输入数据 ');

n=length(y);

yy=ones(n,1);

yy(1)=y(1);

for i=2:n

    yy(i)=yy(i-1)+y(i);

end

B=ones(n-1,2);

for i=1:(n-1)

    B(i,1)=-(yy(i)+yy(i+1))/2;

    B(i,2)=1;

end

BT=B';

for j=1:n-1

    YN(j)=y(j+1);

end

YN=YN';

A=inv(BT*B)*BT*YN;

a=A(1);

u=A(2);

t=u/a;

i=1:n+2;

yys(i+1)=(y(1)-t).*exp(-a.*i)+t;

yys(1)=y(1);

for j=n+2:-1:2

    ys(j)=yys(j)-yys(j-1);

end

x=1:n;

xs=2:n+2;

yn=ys(2:n+2);

plot(x,y,'^r',xs,yn,'*-b');

det=0;

sum1=0;

sumpe=0;

for i=1:n

    sumpe=sumpe+y(i);

end

pe=sumpe/n;

for i=1:n;

    sum1=sum1+(y(i)-pe).^2;

end

s1=sqrt(sum1/n);

sumce=0;

for i=2:n

    sumce=sumce+(y(i)-yn(i));

end

ce=sumce/(n-1);

sum2=0;

for i=2:n;

    sum2=sum2+(y(i)-yn(i)-ce).^2;

end

s2=sqrt(sum2/(n-1));

c=(s2)/(s1);

disp(['后验差比值为：',num2str(c)]);

if c<0.35

    disp('系统预测精度好')

else if c<0.5

        disp('系统预测精度合格')

    else if c<0.65

            disp('系统预测精度勉强')

        else

            disp('系统预测精度不合格')

        end

    end

end

disp(['下个拟合值为 ',num2str(ys(n+1))]);

disp(['再下个拟合值为',num2str(ys(n+2))]);