数学|如何理解极限的精确定义

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赛氪考研·中国科学院大学
245 天前
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在现代的数学分析(或高等数学)教材中,几乎所有的基本概念(连续、微分、积分)都建立在极限概念的基础之上,这是“为什么极限是我们高等数学接触到的第一个概念”的原因。不得不承认当时是很难理解书上给出的极限的定义以及证明,只是脑海中有个印象。

 

极限对于现代数学分析的重要性不言而喻,那么如何理解极限的精确定义呢?理解极限之前,我们首先要明白两个问题:(1)我们为什么要研究极限;(2)极限的概念是什么,怎么产生的。

 

为什么要研究极限

 

几乎所有的数学概念都有它们的实际意义,是从客观实际中抽象出来的数量之间的关系。极限问题的实际意义,最普遍的一个例子,就是通过做圆的内接正多边形来求圆的面积。为什么要通过这种方法求圆面积?这是因为圆是曲边形,我们没法按照正方形,矩形,三角形等等已有的直边形求面积法来直接计算。接下来我们来看极限的概念是怎么产生的:圆的内接正6边形的面积为  ,圆的内接正12边形的面积为  ,圆的内接正24边形的面积为  ,边数每次加倍,这些正多边形的面积按照边数由小到大排列成一列数  , 越大, 边形的面积  就越大,这个  会不会无限增大呢,显然不会! 的最大值就是我们需要求的圆的面积,而这个面积只要半径定了,它就是一个实数。

 

这就出现了一个概念:自然数由小到大变化时,有一个变量会随之变化, 越大, 也越大, 和  是同时慢慢地变大的,但是注意, 可以无限变大,但是  却不会,最终一定会等于一个实数,这个实数就是圆的面积。而我们需要求的这个实数的唯一办法,就是让  无限变大,这显然是不行的,因为没有最大的数, 无法取得最大的数这个现实,导致了无法等于圆的面积,然而,我们知道一个客观实际是:在取得最大数的时候,一定等于圆的面积。

 

极限的概念是什么

 

 变大的过程中, 也随之变大,但是  不会无限变大,它最终肯定要等于一个实数,即圆的面积,这个面积就是  的极限。看到了吗,极限是一个确定的实数。至于  比这个我们要求的确定的圆的面积小多少,我们根本不在乎,我们只知道这个面积一定存在。这个确定的实数,也就是这个极限要怎么得到?只有让  取无穷大才行,可是我们没办法让  取无穷大啊,这个无法取无穷大的现实,就是教科书上的极限定义中使用去心邻域的根本原因,不必使自变量取去心邻域的中心点,照样知道极限是存在的,就像这里, 无法取得无穷大,但是  最终的极限是一个实数是确定无疑的。

 

如何理解极限的精确定义

 

在知道我们为什么要研究极限以及极限的概念之后,我们以函数极限为例,唠唠如何理解极限的精确定义。在高等数学或者数学分析课本中,函数极限的精确定义如下:

设函数  在点  的去心领域内有定义,若存在常数  ,对于任意给定的正数 (无论它多么小),总存在正数  ,使得当  满足不等式  时,对应的函数值 都满足不等式:  ,那么常数  就叫做函数  当  时的极限,记作  。

 

这个定义有些复杂,可以借助下图帮助理解:

 

 

 是我们需要击中的目标,我们允许在击中目标时存在一定的误差,这个误差就是  。通过函数  ,我们可以调整射击的角度任意地接近于  ,射击的角度会存在误差,误差范围在  之内,当  时,射击角度误差为  的射击必须保证击中的目标在  的  领域内。无论  多么小,总能找到足够小的  使得击中的目标在  的  领域内。你不需要找到最优的  ,只要足够小的  的就行。

 

- END -

 

 

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