无穷小量是否为零?

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赛氪考研·中国科学院大学
250 天前
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无穷小量这个概念无疑困扰着一代又一代受过现代数学训练的同胞们。这是很自然的事情,因为它可以让人从直觉上意识得到,却又难于精确地把握:无穷小是什么?是不是可以精确定义的数学概念?它是一个数?还是一段长度?能不能对无穷小做计算?诸如此类等等。由于这个概念几乎天然的和各种哲学式的思辨联系在一起,使得甚至哲学家们也对它颇为关注。

 

关于无穷小的讨论者,最著名的大概莫过于莱布尼茨,他花了大把的精力试图精确阐述无穷小的概念,并以此作为整个微积分学的基石。在莱布尼茨看来,无穷小是一个比任何数都小但是不等于零的量,对它可以做四则运算,尤为关键的是可以做除法:两个相关的无穷小量的比值就是一个函数的导数。以此为基本语言,他开始建立微积分学的基本理论,算是基本上成功了。直至今天,数学家采用的关于微分的记号仍然来自莱布尼茨,而数学学科内部关于微积分学的专门称呼—“分析学”—也来自于莱布尼茨自己对他的理论的叫法—“无穷小分析”。

 

 

可是,也许你想不到的一件吊诡的事情是:尽管莱布尼茨在微积分学的建立过程里做出如此重要的贡献,他的思想的基石——无穷小量——却是一个在今天的数学语言里被完全抛弃了的概念。

 

 

 

 

时至今日,这个词尽管在很多数学书里仍然会出现,但是这时它仅仅作为一个纯粹修辞上的词汇而不是严格的数学概念,人们通常用它来指代“极限为零的变量”,也有的时候它被用来作为对微积分运算中的某些符号的称呼,但是无论何时,人们在使用它的时候都明确的知道自己想说什么,更关键的是,人们知道自己并不需要它,而只是偶尔像借助一个比喻一样借助它罢了。

时光得回到17世纪,当莱布尼兹基于无穷小建立微积分理论之后,人们发现,这个词汇除了带来混乱之外并没有什么特别的用处。于是作为一种语言,它被丢弃了。事实上,即使在莱布尼茨的同时期人看来,无穷小也是一个有点让人不舒服的词:比任何大于零的数都小,却不是零。

 

我们当然可以把它仅仅作为一种人为的逻辑概念来使用,可是这样一个怪东西的存在,既使得数学的基本对象——实数的结构变得混乱,也在很多场合带来了麻烦的难于回答的问题(尽管它也确实带来了不少方便)。更为重要的是,无穷小量的概念违背了阿基米德公理。我们先跑偏几步,来看看阿基米德公理是何许人也。

 

阿基米德公理又称为“阿基米德性质”,其定义为:对任一正数,有自然数满足。那么无穷小量代表的“比任何大于零的数都小,却不是零”,不就是说明,“不存在自然数满足”吗?阿基米德原理是一个关于实数性质的基本原理,如果阿基米德原理是错的,整个数学大概都无法得以建立。这也是无穷小量被人诟病的一大重要原因。

 

在分析学蓬勃发展的十八世纪,一代又一代数学大师为此争论不休,大家混乱而各行其是地使用这个词,却没人能说清楚它的精确含义。终于从十九世纪初期开始,以柯西(Cauchy)和魏尔斯特拉斯(Weierstrass)为代表的一大批数学家开始为微积分学的严密化做出了大量的工作,他们试图在完全不采用“无穷小量”这个概念的前提下重新建立整个微积分学,而是以“极限”这个概念作为微积分的基础,这也是我们现在高等数学课本中一直采用的。

 

那么,回到这个词最本源的意义:到底有没有这样一个量,比一切给定的正实数都小却又不是零?或者这个问题还有一系列等价的提法:在直线上存不存在两个“相邻”的点,其距离比任何正实数都要小?存不存在“长度”的最小构成单位?

 

在今天我们已经能够确定无疑的回答这些问题了:不,不存在。是不是数学家说无穷小量不存在,这个词就没意义了呢?这又回到了前面我们屡次面对的那个关于数学断言的权威性的问题。如果承认无穷小是一个有关数的概念,那么,数学家的工作已经告诉我们,在实数理论中没有无穷小的位置。只不过现在我们从高等数学老师那里听到的,只是老师们为了表述方便,但正是因为这样,也增加了误导我们的概率。

 

资料来源:

https://www.zhihu.com/question/20454375/answer/21666752

 

- END -

 

 

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