利用变上限积分证明积分不等式

积分不等式是高等数学比较难证明的一种不等式，具有较高的技巧性。但是利用导数证明不等式成立是比较容易的，即利用导数证明函数的单调性然后来证明不等式。那么有时候我们可以构造辅助函数，这些辅助函数就是变上限的定积分形式，从而证明函数的单调性。

我们先看几个例子，来看如何利用变上限积分证明积分不等式。

例1：证明Cauthy-Schwarz不等式：若$f(x),g(x),f^2(x),g^2(x)$在区间$[a,b]$上可积，则$(\int_a^bf(x)g(x)dx)^2\leq\int_a^bf^2(x)dx\int_a^bg^2(x)dx$。

这里可以固定积分下限$a$,把积分上限$b$看成变量，不等式的左边右边看成关于$b$的函数。利用作差构造函数，这个函数即是变上限积分形式。然后利用求导研究单调性从而得到不等式。

证明：令$F(b)=\int_a^bf^2(x)dx\int_a^bg^2(x)dx-(\int_a^bf(x)g(x)dx)^2(b> a)$

$F'(b)=f^2(b)\int_a^bg^2(x)dx+g^2(b)\int_a^bf^2(x)dx-2f(b)g(b)\int_a^bf(x)g(x)dx \\=\int_a^b(f(b)g(x)-g(b)f(x))^2dx\geq0$

$\therefore F(b)$是单调递增函数,

$\therefore F(b)\geq F(a)=0$

$\therefore(\int_a^bf(x)g(x)dx)^2\leq\int_a^bf^2(x)dx\int_a^bg^2(x)dx$

可以看出，这种证明方式非常简单明了，并没有用到很多定积分的性质就完成了证明。

例2：设函数$f(x)$在$[0,+\infty)$上连续且单调递增，试证：对任意$0<a\leq b$,恒有

$\int_a^bxf(x)dx\geq\frac{1}{2}[b\int_0^bf(x)dx-a\int_0^af(x)dx].$

同样也可以考虑固定$a$，看成关于$b$的变上限积分函数。

证明：令$F(b)=\int_a^bxf(x)dx-\frac{1}{2}\left[b\int_0^bf(x)dx-a\int_0^af(x)dx\right](b\geq a>0)$,

则$F'(b)=bf(b)-\frac{1}{2}\left[\int_0^bf(x)dx+bf(b)\right]=\frac{1}{2}\left[bf(b)-\int_0^bf(x)dx\right]\\=\frac{1}{2}\int_0^b[f(b)-f(x)]dx$

$\because f(x)$在$[0,+\infty)$上单调递增，$\therefore0<x<b时,f(b)-f(x)\geq0$

$\therefore\int_0^b[f(b)-f(x)]\geq0$,$\therefore F'(b)\geq0$

$\therefore$$F(b)$在$[a,+\infty)$上单调递增，$F(b)\geq F(a)=0$

$\therefore​​$$\int_a^bxf(x)dx\geq\frac{1}{2}[b\int_0^bf(x)dx-a\int_0^af(x)dx].$

例3：设函数$f(x)$在$[0,1]$上连续且单调递减，$f(x)>0$,证明：$\forall a,b$满足$0<a<b<1$，都有$b\int_0^af(x)dx>a\int_a^b f(x)dx$.

仍然是固定一个变量，构造函数来证明。

证明：令$F(b)=b\int_0^af(x)dx-a\int_a^bf(x)dx(a<b<1)$

$F'(b)=\int_0^af(x)dx-af(b)=\int_a^b[f(x)-f(b)]dx$

$\because f(x)$单调递减，$\therefore0<x<b时， f(x)\geq f(b)$,$\therefore F'(b)\geq0$

$\therefore F(b)\geq F(a)=a\int_0^af(x)dx>0$

$\therefore b\int_0^af(x)dx>a\int_a^b f(x)dx$

尝试利用变上限积分证明某些积分不等式，证明起来是相当方便的。当然积分不等式的证明有很多思路，并不是都可以通过变上限积分证明，但是这是很有力的一种方法。