利用变上限积分证明积分不等式

积分不等式是高等数学比较难证明的一种不等式，具有较高的技巧性。但是利用导数证明不等式成立是比较容易的，即利用导数证明函数的单调性然后来证明不等式。那么有时候我们可以构造辅助函数，这些辅助函数就是变上限的定积分形式，从而证明函数的单调性。

我们先看几个例子，来看如何利用变上限积分证明积分不等式。

例1：证明Cauthy-Schwarz不等式：若\(f(x),g(x),f^2(x),g^2(x)\)在区间\([a,b]\)上可积，则\((\int_a^bf(x)g(x)dx)^2\leq\int_a^bf^2(x)dx\int_a^bg^2(x)dx\)。

这里可以固定积分下限\(a\),把积分上限\(b\)看成变量，不等式的左边右边看成关于\(b\)的函数。利用作差构造函数，这个函数即是变上限积分形式。然后利用求导研究单调性从而得到不等式。

证明：令\(F(b)=\int_a^bf^2(x)dx\int_a^bg^2(x)dx-(\int_a^bf(x)g(x)dx)^2(b> a)\)

\(F'(b)=f^2(b)\int_a^bg^2(x)dx+g^2(b)\int_a^bf^2(x)dx-2f(b)g(b)\int_a^bf(x)g(x)dx \\=\int_a^b(f(b)g(x)-g(b)f(x))^2dx\geq0\)

\(\therefore F(b)\)是单调递增函数,

\(\therefore F(b)\geq F(a)=0\)

\(\therefore(\int_a^bf(x)g(x)dx)^2\leq\int_a^bf^2(x)dx\int_a^bg^2(x)dx\)

可以看出，这种证明方式非常简单明了，并没有用到很多定积分的性质就完成了证明。

例2：设函数\(f(x)\)在\([0,+\infty)\)上连续且单调递增，试证：对任意\(0<a\leq b\),恒有

\(\int_a^bxf(x)dx\geq\frac{1}{2}[b\int_0^bf(x)dx-a\int_0^af(x)dx].\)

同样也可以考虑固定\(a\)，看成关于\(b\)的变上限积分函数。

证明：令\(F(b)=\int_a^bxf(x)dx-\frac{1}{2}\left[b\int_0^bf(x)dx-a\int_0^af(x)dx\right](b\geq a>0)\),

则\(F'(b)=bf(b)-\frac{1}{2}\left[\int_0^bf(x)dx+bf(b)\right]=\frac{1}{2}\left[bf(b)-\int_0^bf(x)dx\right]\\=\frac{1}{2}\int_0^b[f(b)-f(x)]dx\)

\(\because f(x)\)在\([0,+\infty)\)上单调递增，\(\therefore0<x<b时,f(b)-f(x)\geq0\)

\(\therefore\int_0^b[f(b)-f(x)]\geq0\),\(\therefore F'(b)\geq0\)

\(\therefore\)\(F(b)\)在\([a,+\infty)\)上单调递增，\(F(b)\geq F(a)=0\)

\(\therefore​​\)\(\int_a^bxf(x)dx\geq\frac{1}{2}[b\int_0^bf(x)dx-a\int_0^af(x)dx].\)

例3：设函数\(f(x)\)在\([0,1]\)上连续且单调递减，\(f(x)>0\),证明：\(\forall a,b\)满足\(0<a<b<1\)，都有\(b\int_0^af(x)dx>a\int_a^b f(x)dx\).

仍然是固定一个变量，构造函数来证明。

证明：令\(F(b)=b\int_0^af(x)dx-a\int_a^bf(x)dx(a<b<1)\)

\(F'(b)=\int_0^af(x)dx-af(b)=\int_a^b[f(x)-f(b)]dx\)

\(\because f(x)\)单调递减，\(\therefore0<x<b时， f(x)\geq f(b)\),\(\therefore F'(b)\geq0\)

\(\therefore F(b)\geq F(a)=a\int_0^af(x)dx>0\)

\(\therefore b\int_0^af(x)dx>a\int_a^b f(x)dx\)

尝试利用变上限积分证明某些积分不等式，证明起来是相当方便的。当然积分不等式的证明有很多思路，并不是都可以通过变上限积分证明，但是这是很有力的一种方法。