变上限积分函数的求导

  • 变上限积分
  • 求导数
高航·浙江大学
2016-08-03
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变上限积分函数,简单来说就是积分的上限或下限中出现了变量。由于之前的学习并没有见过这一类函数,包括笔者在内的很多大学生刚开始接触它的时候难免会感到“水土不服”。首先,变上限积分函数并不是很好理解;其次,教材上对于变上限积分函数的求导很少有专门的讲解。很多教材中只是在讲解微积分基本定理的时候提及了变上限积分函数,没有深入探讨求导的方法。但不管是研究生入学考试还是高等数学竞赛都会出现变上限积分函数求导的面孔,或者求极限时候遇到有变上限积分函数,欲用洛必达法则也需要对其求导。

  • 何为变上限积分函数

定义:若函数\(f(x)\)\([a,b]\)上连续,\(x\in [a,b]\),那么定积分\(\int_a^x f(t)dt\)存在,\(\phi(x)=\int_a^xf(t)dt\)称为\(f(x)\)的变上限积分函数。

该如何理解这个定义呢?首先变上限积分函数建立在给定的连续函数\(f(x)\)上,那么它在一个区间定积分值仅和积分上限和积分下限有关。如果积分下限\(a\)固定了,那么对于每一个\(x\)作为函数的积分上限,都有一个对应的积分值,因而这就形成了一个函数关系。我们注意到被积函数的自变量换用了字母\(t\),其实一个函数自变量用什么字母是无所谓的,换用字母是为了防止被积函数的变量和上限混同,\(t\)并不是真正的函数变量,只不过是形式上的一个记号。

变上限积分函数其他一些性质本文不予赘述,本文主要讨论变上限积分函数的求导。

  • 一、变上限积分函数求导的原理

变上限积分函数求导的原理就是微积分第一基本定理:

如果被积函数\(f(x)\)\([a,b]\)连续,那么变上限积分函数\(\int_a^xf(t)dt\)\([a,b]\)可导,且\(\frac{\int_a^xf(t)dt}{dx}=f(x)\).

简单来说,就是变上限积分函数是被积函数的一个原函数,当然求导数后得到的是被积函数了。有些读者高中是理科生,学过定积分的初步内容,知道“牛顿-莱布尼兹公式”,也就是微积分第二基本定理。虽然从逻辑上讲,我们是用这个定理推得的“牛顿-莱布尼兹公式”,但是理解起来可以借用更熟悉的“牛顿-莱布尼兹公式”理解这个定理。比如说\(f(x)\)一个原函数是\(F(x)\),那么\(\int_a^xf(t)dt=F(t)|_a^x=F(x)-F(a)\),它自然也是\(f(x)\)的一个原函数。一般来说,我们对“牛顿-莱布尼兹公式”的印象肯定比这个定理深,所以反过来强化理解也不失为一种很好的策略。

例1:求极限\(\mathop {\lim }\limits_{x \to 0} \frac{{\int_0^x {{e^t}\ln (1 + t)dt} }}{{{x^2}}}\).

分子是变上限积分函数,显然我们可以使用洛必达法则。

解:\(\mathop {\lim }\limits_{x \to 0} \frac{{\int_0^x {{e^t}\ln (1 + t)dt} }}{{{x^2}}} = \mathop {\lim }\limits_{x \to 0} \frac{{{e^x}\ln (1 + x)}}{{2x}} = \frac{1}{2}\).

如果是变下限的积分,我们可以简单交换积分的上下限,变成变上限的积分。

即:\(\int_x^a {f(t)dt = - \int_a^x {f(t)dt} } \)

\(\frac{{d(\int_x^a {f(t)dt)} }}{{dx}} = - \frac{{d(\int_a^x {f(t)dt)} }}{{dx}} = - f(x)\)

  • 二、变上限积分函数参与运算的类型

这里指的是待求导的函数有一部分是变上限积分函数,它参与了四则运算。这种情况下求导函数同一般的四则运算求导并没有什么区别,该怎么求就怎么求。疑难点无非在于不习惯出现变上限积分函数,习惯以后就不是问题了。

例2:求导数\(y = {x^2}\int_1^x {f(t)dt} \)

和通常乘积形式的求导没有区别。

\(y' = ({x^2})'\int_1^x {f(t)dt} + {x^2}\frac{{d(\int_1^x {f(t)dt)} }}{{dx}} = 2x\int_1^x {f(t)dt} + {x^2}f(x)\)

  • 三、上下限是函数的类型

如果积分上下限是关于\(x \)的函数,这时我们可以看成复合函数的求导。

\(\int_a^{g(x)} {f(t)dt} \)可以看成\(u=g(x)\)\(y=\int_a^uf(t)dt\)的复合,利用复合函数求导法则可以求出导函数。

\(\frac{{d(\int_a^{g(x)} {f(t)dt} }}{{dx}} = g'(x)f(g(x))\)

例3:已知\(f(x) = \int_0^{{x^2}} {({3^{2t}} + \sin t)dt} \),求\(f'(x)\).

解:\(f'(x) = 2x({3^{2{x^2}}} + \sin ({x^2}))\)

如果函数上下限都是关于\(x \)的函数,此时可以利用定积分的性质写成两个变上限积分函数的差。即\(\int_{g(x)}^{h(x)}f(t)dt=\int_a^{h(x)}f(t)dt-\int_a^{g(x)}f(t)dt\),然后求导即可。

\(\begin{gathered} \frac{{d\left( {\int_{g(x)}^{h(x)} {f(t)dt} } \right)}}{{dx}} = \frac{{d(\int_a^{h(x)} {f(t)dt - \int_a^{g(x)} {f(t)dt} } )}}{{dx}} \hfill \\ = h'(x)f(h(x)) - g'(x)f(g(x)) \hfill \\ \end{gathered} \)

 

当然这里不需要死记硬背,理解思路就行了。

例4:已知\(f(x) = \int_{x - 1}^{{x^2}} {({3^{2t}} + \sin t)dt} \),求\(f'(x)\)

解:\(\begin{gathered} f'(x) = \frac{{d(\int_0^{{x^2}} {({3^{2t}} + \sin t)dt} }}{{dx}} - \frac{{d(\int_0^{x - 1} {({3^{2t}} + \sin t)dt} }}{{dx}} \hfill \\ = 2x({3^{2{x^2}}} + \sin ({x^2})) - ({3^{2(x - 1)}} + \sin (x - 1)) \hfill \\ \end{gathered} \)

  • 四、被积函数出现含\(x \)的变量的类型

  • (一)自变量与积分变量可分离型

如果被积函数可以写成\(g(x)f(t)\),那么对于变上限积分而言\(g(x)\)可以看成常数,因为积分变量是\(t\)而不是\(x \),所以可以直接拉出来,即\(\int_a^x {g(x)f(t)dt = g(x)} \int_a^x {f(t)dt} \),然后再进行求导。

例5:求导数\(y = \int_a^x {(x - t)f(t)dt} \)

这里可以将被积函数分成两部分,先变形

\(\int_a^x {(x - t)f(t)dt} = \int_a^x {xf(t)dt - \int_a^x {tf(t)dt = x\int_a^x {f(t)dt - \int_a^x {tf(t)dt} } } } \)

然后再进行求导。

解:\(\begin{gathered} y' = \frac{{d(\int_a^x {(x - t)f(t)dt} )}}{{dx}} = \frac{{d(x\int_a^x {f(t)dt) - d(\int_a^x {tf(t)dt)} } }}{{dx}} \hfill \\ = \int_a^x {f(t)dt + xf(x) - xf(x) = \int_a^x {f(t)dt} } \hfill \\ \end{gathered} \)

  • (二)自变量与积分变量不可分离型

被积函数含有的自变量和积分变量的表达式不容易分离的情况,我们要考虑先进行变量代换,变成新积分变量和自变量可以分离的类型。

例6:求导数\(y = \int_0^x {tf(t - x)dt} \)

这里自变量和积分变量不能分离,因此作换元\(u=t-x\),换元后新的积分变量\(u\)\(x\)就可以分离了。

解:令\(u=t-x\),则\(t=u-x\)

\(\begin{gathered} y = \int_0^x {tf(t - x)dt} = \int_0^x {(u - x)f(u)d(u - x) = - \int_x^0 {(u - x)f(u)du} } \hfill \\ = \int_0^x {(u - x)f(u)du = \int_0^x {uf(u)du - x\int_0^x {f(u)du} } } \hfill \\ \end{gathered} \)

\(y' = xf(x) - \int_0^x {f(u)du + xf(x)) = - } \int_0^x {f(u)du} \)

例7:\(F(x) = \int_0^1 {f({x^2}t)dt} \),求\(F'(x)\)

虽然这是一个定积分,但同样被积函数中自变量和积分变量不能分离,可以先进行变量代换。

解:令\(u=x^2t\),则\(t={u\over x^2}\)

\(F(x) = \int_0^1 {f({x^2}t)} dt = \int_0^1 {f(u)d(\frac{u}{{{x^2}}}) = \frac{1}{{{x^2}}}\int_0^{{x^2}} {f(u)du} } \)

\(\begin{gathered} F'(x) = \frac{{\frac{{d(\int_0^{{x^2}} {f(u)du)} }}{{dx}}{x^2} - 2x\int_0^{{x^2}} {f(u)du} }}{{{x^4}}} = \frac{{2xf({x^2}){x^2} - 2x\int_0^{{x^2}} {f(u)du} }}{{{x^4}}} \hfill \\ = \frac{{2{x^2}f({x^2}) - 2\int_0^{{x^2}} {f(u)du} }}{{{x^3}}} \hfill \\ \end{gathered} \)

以上内容是我们常见的变上限积分函数求导的类型,习惯这种形式后也不会感觉非常困难了。

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