利用等价无穷小代换求极限的技巧

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  • 等价无穷小
高航·浙江大学
2016-08-02
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 等价无穷小代换是函数求极限常用而有效的方法,在很多情况下可以起到化难为易的效果。

  • 一、何为等价无穷小

无穷小简单来说指的是极限为0的变量,可以是序列也可以是函数。虽然所有的无穷小量极限都是0,但是它们趋向于0的速度有很大的区别。比如\(\{\frac{1}{n}\}\)\(\{{1\over \ln n}\}\)\(n\to\infty \)时它们都是无穷小,但是趋于0的速度却不可同日而语:\({1\over\ln n}\)总会比\(1\over n\)“大得多”。因而这些无穷小量就有了阶数之别。关于无穷小量,有以下两条重要的结论:

  1. 有限个无穷小的和、差、积是无穷小;
  2. 无穷小量与有界量之积是无穷小量。

如果\(\alpha,\beta\)都是无穷小量(这里省略变量的字母),如果\(\lim{\alpha\over\beta}=0\),就说\(\alpha\)\(\beta\)的高阶无穷小,通俗地讲就是\(\alpha\)\(\beta\)更快地趋近于0,和\(\beta\)相比可以忽略不计;如果\(\lim{\alpha\over\beta}=\infty\),就说\(\alpha\)\(\beta\)的低阶无穷小,通俗地说就是\(\alpha,\beta\)虽然都是无穷小量但是\(\beta\)比起\(\alpha\)来可以忽略不计。我们可以把无穷小量\(\alpha\)的高阶无穷小记作\(o(\alpha)\),可以理解成“和\(\alpha\)相比可以忽略不计的量”。如果\(\lim{\alpha\over\beta}=C\not=\infty\),\(C\)是常数,称\(\alpha\)\(\beta\)的同阶无穷小;特别地,如果这里\(C=1\),即\(\lim{\alpha\over\beta}=1\),就称\(\alpha\)\(\beta\)的等价无穷小,记作\(\alpha\sim\beta\)

首先,等价无穷小满足数学上等价关系的定义,即具有自反性、对称性和传递性,因而是很好的定义;其次,等价无穷小在应用的时候非常实用。所以对等价无穷小进行研究非常有价值。

容易证明,在求无穷小之积(比)的极限时,乘积因子(分子及分母)均可以用各自的等价无穷小进行替换。在一定程度上,这种等价替换可以简化计算。如果求的是\(x\to0\)时的极限,将无穷小量替换为\(cx^\alpha\)的形式(\(c,\alpha\)是常数)是很有帮助的,因而我们主要应用的是这种等价无穷小替换。另外,如果\(x\to0\)\(f(x)\)是无穷小,\(f(x)\sim kx^n\)\(k\)是实常数,称\(f(x)\)是(关于\(x\)的)\(n\)阶无穷小。

  • 二、常见的等价无穷小替换

以下的量都指的是\(x \to0\)的情况,明显它们都是无穷小量。要说明的是不要狭隘地就认为\(x\)只可以是\(x\),它指代的是无穷小量。

第一组等价无穷小替换:

\(\arcsin x\sim\sin x\sim x\sim \arctan x\sim\tan x\),这是我们使用最多,最常见的等价无穷小替换。

第二组等价无穷小替换:

\((1+x)^\alpha-1\sim \alpha x(\alpha\not=0)\),如果看见\((1+x)^\alpha\)的形式,就很可能要用这种等价无穷小替换了,要对这种形式很敏感。要注意负指数幂和分数指数幂也要看出来,比如\(\sqrt{1+x}-1\sim{1\over2}x\)

第三组等价无穷小替换:

\(e^x-1\sim x\sim\ln(x+1)\),这个等价无穷小变换也是可以经常见到的。

另外还有其它的一些常用等价无穷小代换,可以用上面三种替换或者用泰勒展开式来得到。如:\(1-\cos x\sim\frac{1}{2}x^2\),理由是\(1-\cos x=2\sin^2(\frac{x}{2})\sim{1\over2}x^2\)

\(a^x-1\sim x\ln a(a>0,a\not=1)\),理由是\(a^x-1=e^{x\ln a}-1\sim x\ln a\)

这几组常见的等价无穷小替换是一定要记住的,看到这些形式需要迅速反映过来。

  • 三、等价无穷小代换求极限的技巧

  • (一)直接代换法

一些比较简单的问题,进行等价无穷小替换后直接可以求得极限。

例1:求极限\(\mathop {\lim }\limits_{x \to 0} \frac{{\sin x}}{{(1 + \cos x)\ln (x + 1)}}\)

直接利用等价无穷小代换\(\sin x\sim x,\ln(x+1)\sim x\)即可求解。

解:\(\mathop {\lim }\limits_{x \to 0} \frac{{\sin x}}{{(1 + \cos x)\ln (x + 1)}}=\mathop {\lim }\limits_{x \to 0}\frac{x}{2x}={1\over2}\)

  • (二)先变形,再代换

直接替换不方便的情况下,先对要求极限的代数式进行变形,然后作等价无穷小代换。尤其是分子和分母有加减的形式,是不可以贸然就加减形式作无穷小替换的。这时候就要先变形,然后进行无穷小代换了。

例2:\(\mathop {\lim }\limits_{x \to 0} \frac{{\ln (1 + x) + \ln (1 - x)}}{{1 - \cos x + {{\sin }^2}x}}\)

这里分子分母都是无穷小,但是难以直接进行替换。要注意,如果是加减的形式,是不能贸然作无穷小代换的。不能认为\(\ln(1+x)\sim x,\ln(1-x)\sim -x\)就认为最后极限是0.所以要先通过变形,将分子和分母上的加减变形为乘除的形式。

解:\(\ln(1+x)+\ln(1-x)=\ln(1-x^2)\sim-x^2\)

\(1-\cos x+\sin^2x=2\sin^2({x\over2})+(2\sin{x\over2}\cos{x\over2})^2\\ =2\sin^2{x\over2}(1+2\cos^2{x\over2})\sim{3\over2}x^2\)

\(\therefore \mathop {\lim }\limits_{x \to 0} \frac{{\ln (1 + x) + \ln (1 - x)}}{{1 - \cos x + {{\sin }^2}x}} = \mathop {\lim }\limits_{x \to 0} \frac{{ - {x^2}}}{{\frac{3}{2}{x^2}}} = - \frac{2}{3}\)

例3:\(\mathop {\lim }\limits_{x \to 1} \frac{{\ln \cos (x - 1)}}{{1 - \sin \frac{\pi }{2}x}}\)

虽然分子分母都是无穷小量,但是我们更习惯\(x\to0\)时的等价无穷小代换,这里是\(x\to1\),让人有些“水土不服”,所以先作变量代换,用\(x+1\)代换\(x\),这样就变成我们更熟悉的\(x \to0\)的情形了。

解:\(\mathop {\lim }\limits_{x \to 1} \frac{{\ln \cos (x - 1)}}{{1 - \sin \frac{\pi }{2}x}} = \mathop {\lim }\limits_{x \to 0} \frac{{\ln \cos x}}{{1 - \cos \frac{\pi }{2}x}}\)

\(\ln \cos x = \ln (1 + \cos x - 1)\sim\cos x - 1\sim- \frac{1}{2}{x^2}\)

\(\begin{gathered} \therefore \mathop {\lim }\limits_{x \to 1} \frac{{\ln \cos (x - 1)}}{{1 - \sin \frac{\pi }{2}x}} = \mathop {\lim }\limits_{x \to 0} \frac{{\ln \cos x}}{{1 - \cos \frac{\pi }{2}x}} = \mathop {\lim }\limits_{x \to 0} \frac{{ - \frac{1}{2}{x^2}}}{{\frac{1}{2}{{\left( {\frac{\pi }{2}x} \right)}^2}}} \hfill \\ = - \frac{4}{{{\pi ^2}}} \hfill \\ \end{gathered} \)

  • (三)加减形式的等价无穷小代换

首先,前面强调过,加减形式不可以贸然使用等价无穷小代换。例如,求\(\mathop{\lim}\limits_{x\to 0}\frac{\tan x-\sin x}{x^3}\),不能认为\(\tan x\sim x\sim\sin x\)就认为\(\mathop {\lim }\limits_{x \to 0} \frac{{\tan x - \sin x}}{{{x^3}}} = 0\)。这是因为,等价无穷小并不一定相等,有可能两个等价无穷小量存在细致的差别,这个差别是高阶的无穷小量。事实上,\(\tan x - \sin x = \sin x(\frac{1}{{\cos x}} - 1) = \frac{{\sin x(1 - \cos x)}}{{\cos x}}\sim\tfrac{1}{2}{x^3}\),虽然它们之间存在差别,但是相对它们来说是高阶的无穷小,可以忽略。但这并不是说,任何情况下都不能就加减形式进行等价无穷小代换。

例如\(x\to0\)时,\(\sin 2x - \sin x = 2\cos \frac{3}{2}x\sin \frac{1}{2}x\sim x\),如果直接利用等价无穷小代换,\(\sin 2x-\sin x\sim2x-x=x\)好像也没什么错误。那么,何时这种等价无穷小变换是可以做的呢?

这里我们有这样的结论:

\(\alpha,\beta\)是同一过程的等价无穷小,\(\alpha\sim\alpha ',\beta\sim\beta'\),则\(\alpha-\beta\sim\alpha'-\beta'\)的充要条件是\(\lim\frac{\alpha}{\beta}=c\not=1\).此结论的证明并不复杂,本文不予赘述。

同样,\(\alpha+\beta\)可以看作\(\alpha-(-\beta)\)这时候可以用等价无穷小代换的充要条件是\(\lim\frac{\alpha}{\beta}=c\not=-1\)

例4:求极限\(\mathop {\lim }\limits_{x \to 0} \frac{{{e^{3x}} - {e^{5x}}}}{{\sin 2x - \sin 7x}}\)

这里如果知道上面的结论就可以放心地利用等价无穷小替换了。

\(\because \mathop {\lim }\limits_{x \to 0} \frac{{{e^{3x}} - 1}}{{{e^{5x}} - 1}} = \frac{3}{5} \ne 1,\mathop {\lim }\limits_{x \to 0} \frac{{\sin 2x}}{{\sin 7x}} = \frac{2}{7} \ne 1\)

\(\therefore \mathop {\lim }\limits_{x \to 0} \frac{{{e^{3x}} - {e^{5x}}}}{{\sin 2x - \sin 7x}} = \mathop {\lim }\limits_{x \to 0} \frac{{3x - 5x}}{{2x - 7x}} = \frac{2}{5}\)

  • (四)配凑等价无穷小形式

有时候可以在代数式中配凑等价无穷小形式,然后求极限。

例5:求\($\mathop {\lim }\limits_{x \to 0} \frac{{\ln \tan 7x}}{{\ln \tan 4x}}\)

我们非常想作等价无穷小代换,但是直接代换并没有依据(虽然结果是正确的),所以配凑等价无穷小的形式。

\(\begin{gathered} \mathop {\lim }\limits_{x \to 0} \frac{{\ln \tan 7x}}{{\ln \tan 4x}} = \mathop {\lim }\limits_{x \to 0} \frac{{\ln \frac{{\tan 7x}}{{7x}} + \ln 7x}}{{\ln \frac{{\tan 4x}}{{4x}} + \ln 4x}} \hfill \\ = \mathop {\lim }\limits_{x \to 0} \frac{{\ln 7x}}{{\ln 4x}} = 1 \hfill \\ \end{gathered} \)

  • (五)利用泰勒展开式寻找等价无穷小代换

这里先简单介绍此方法,详见我的另一篇博文《利用泰勒展开式求函数的极限》。文章链接是http://www.saikr.com/a/2768.

例6:求极限\(\mathop {\lim }\limits_{x \to 0} \frac{{\cos x - {e^{ - \frac{{{x^2}}}{2}}}}}{{{x^4}}}\)

对分子上\(\cos x\)\(e^{-\frac{x^2}{2}}\)进行泰勒展开,寻找等价无穷小代换。

\(\begin{gathered} \cos x = 1 - \frac{1}{2}{x^2} + \frac{1}{{24}}{x^4} + o({x^4}), \hfill \\ {e^{ - \frac{{{x^2}}}{2}}} = 1 - \frac{{{x^2}}}{2} + \frac{1}{8}{x^4} + o({x^4}) \hfill \\ \end{gathered} \)

\(\therefore \cos x - {e^{ - \frac{{{x^2}}}{2}}}{{\sim - }}\frac{{\text{1}}}{{{\text{12}}}}{x^4}\),最后答案是\(-{1\over12}\)

  • (六)变上限积分中等价无穷小代换

变上限积分中也可以进行等价无穷小代换。有下面的定理作支持:

如果\(x\to0\)时,\(\phi(x)\to0,\phi'(x)\)存在,\(f(x)\to0,g(x)\to0,f(x)\sim g(x)\),则有:

\(\int_0^{\phi (x)} {f(t)dt{{\sim}}} \int_0^{\phi (x)} {g(t)dt} \)

证明:\(\mathop {\lim }\limits_{x \to 0} \frac{{\int_0^{\phi (x)} {f(t)dt} }}{{\int_0^{\phi (x)} {g(t)dt} }} = \mathop {\lim }\limits_{x \to 0} \frac{{\phi '(x)f(\phi (x))}}{{\phi '(x)g(\phi (x))}} = 1\)

例7:求极限\(\mathop {\lim }\limits_{x \to 0} \frac{{\int_0^{{{\sin }^2}x} {\ln (1 + t)dt} }}{{\sqrt {1 + {x^4}} - 1}}\)

这里直接用洛必达法则比较繁琐,用上述等价无穷小代换就简单了。

解:\(\because \ln (1 + x)\sim x\)\(\therefore \int_0^{{{\sin }^2}x} {\ln (1 + t)dt} \sim\int_0^{{{\sin }^2}x} {tdt} = \frac{1}{2}{\sin ^4}x\sim\frac{1}{2}{x^4}\)

\(\mathop {\lim }\limits_{x \to 0} \frac{{\int_0^{{{\sin }^2}x} {\ln (1 + t)dt} }}{{\sqrt {1 + {x^4}} - 1}} = \mathop {\lim }\limits_{x \to 0} \frac{{\frac{1}{2}{x^4}}}{{\frac{1}{2}{x^4}}} = 1\)

  • 四、结语

在学习了洛必达法则以后,很多同学对洛必达法则求极限产生了一定依赖,一旦洛必达法则使不上劲就找不到思路了。其实很多用洛必达法则求极限较难的题目,用等价无穷小代换可以轻松解决,而且更加快捷。当然等价无穷小代换也不是万应锭,所以看到具体式子的特点,该用什么方法就用什么方法才是王道。

本文由 高航 授权 赛氪网 发表,并经赛氪网编辑。转载此文章须经作者同意,并请附上出处(赛氪网)及本页链接。原文链接https://www.saikr.com/a/2765
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