证明数列收敛的方法总结

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高航·浙江大学
2016-07-29
阅读数6056

思路一:利用数列的定义证明

一般来说,如果已知数列的表达式,欲证明数列的极限是给定的实数,那么我们通常采用定义法来证明数列收敛。

首先,我们再来回顾一下数列极限的概念。如果对于任意\(\epsilon>0\),都存在\(N\),使得对任意\(n\geq N\)都有\(|a_n-A|<\epsilon\),就称数列\(\{a_n\}\)收敛于\(A\),或者称\(A\)是数列\(\{a_n\}\)的极限。所以如果不知道数列到底收敛到何值,或者难以得到数列的具体表达式,我们很难利用定义证明数列收敛。而用定义法证明数列收敛的思路是显而易见的,就是对于任意给定的\(\epsilon\),设法寻找相应的\(N\),使得\(n\geq N\)时候数列的每一项与\(A\)的差值小于给定的\(\epsilon\)\(N\)一般来说是可以用\(\epsilon\)表示的。这里要注意,我们要做的事情并不一定是解不等式\(|a_n-A|<\epsilon\)(如果这个不等式比较容易解,当然解不等式就可以找到需要的\(N\)),一般来说这个不等式并不是很好解。想办法利用表达式的特征找到\(N\)就好了。

首先,我们暂时还不知道对给定的\(\epsilon\),要取的\(N\)为何值。我们并没有直接获知需要的\(N\)的“特异功能”,所以先要进行分析,看看表达式的特征,通过分析发现合适的取值。如果直接解不等式很容易,那么只需要解这个不等式就行了。如果并不容易,我们要看能否作合适的放缩。倘若我们找到了一个表达式\(g(n)\),满足\(|a_n-A|\leq g(n)\),而\(g(n)<\epsilon\)这个不等式很好解,比如说现在找到了一个\(N\)\(n\geq N\)的时候\(g(n)<\epsilon\)那么自然\(|a_n-A|\leq g(n)<\epsilon\)。虽然这个\(N\)并不一定是“最好的”,但是我们并不在乎这一点,只要找到就行了。至于具体怎么放缩还是要看式子的特征,难以统一归纳了。下面我们来看一些例子。

 

例1:证明\(\mathop {\lim }\limits_{n \to \infty } \frac{1}{{{n^2}}} = 0\)

分析:对于给定的\(\epsilon>0\),需要找到使得\(\left| {\frac{1}{{{n^2}}} - 0} \right| < \varepsilon \)成立的\(n\)的阈值。这里这个不等式并不难解,所以可以解出来\(n > \sqrt {\frac{1}{\varepsilon }} \),所以取\(N = \left[ {\sqrt {\frac{1}{\varepsilon }} } \right] + 1\)就可以了(方括号表示取整数部分)。因为经过了这样的分析,接下的证明我们径直如是取\(N\)的值。

证明:\(\forall \varepsilon > 0\)\(N = \left[ {\sqrt {\frac{1}{\varepsilon }} } \right] + 1\),当\(n\geq N\)时,

\(\left| {\frac{1}{{{n^2}}} - 0} \right| = \frac{1}{{{n^2}}} \leqslant \frac{1}{{{N^2}}} < \frac{1}{{{{\left( {\sqrt {\frac{1}{\varepsilon }} } \right)}^2}}} = \varepsilon \)

\(\mathop {\lim }\limits_{n \to \infty } \frac{1}{{{n^2}}} = 0\)

 

这个证明中取的\(N\)是最理想的,它取得再小一些就不能保证\(n\geq N\)时候那个不等式恒成立了。但是我们并不需要让\(N\)取得这么理想,比如我们可以做得粗糙一些,\(N = \left[ {\frac{1}{\varepsilon }} \right] + 1\)也完全没有问题。我们的目的只是找到这样的\(N\),找到就行,不需要很“理想”。

例2:证明:\(\mathop {\lim }\limits_{n \to \infty } \frac{{10n}}{{{n^2} + 1}} = 0\)

分析:对于给定\(\epsilon>0\)\(\left| {\frac{{10n}}{{{n^2} + 1}} - 0} \right| = \frac{{10n}}{{{n^2} + 1}} < \varepsilon \)这个不等式不是很好解,但是我们可以进行放缩,把分母的1“扔掉”,从而寻找合适的\(N\)。即\(\left| {\frac{{10n}}{{{n^2} + 1}} - 0} \right| = \frac{{10n}}{{{n^2} + 1}} < \frac{{10}}{n}\),取\(N = \left[ {\frac{{10}}{\varepsilon }} \right] + 1\)即可。

证明:\(\forall \varepsilon > 0\)\(N = \left[ {\frac{{10}}{\varepsilon }} \right] + 1\),当\(n\geq N\)时,

\(\left| {\frac{{10n}}{{{n^2} + 1}} - 0} \right| = \frac{{10n}}{{{n^2} + 1}} < \frac{{10}}{n}<\epsilon\)

这就是一个通过放缩寻找\(N\)的例子。

数列的前有限项对数列收敛与否并没有太大影响,如果在\(n\)比较小的时候,我们较满意的放缩不成立,那么我们不妨缩小\(n\)的范围使得这个放缩成立。

例3:证明\(\mathop {\lim }\limits_{n \to \infty } \frac{{5n^3 + n - 4}}{{2{n^3} - 3}} = \frac{5}{2}\)

分析:先作差观察,\(\left| {\frac{{5n{}^3 + n - 4}}{{2{n^3} - 3}}{\text{ - }}\frac{{\text{5}}}{{\text{2}}}} \right| = \frac{{2n + 7}}{{2\left| {2{n^3} - 3} \right|}} = \frac{{2n + 7}}{{2\left| {{n^3} + {n^3} - 3} \right|}}\)

倘若\(n\geq7\),分子可以放大成\(3n\),分母\(n^3-3\)放缩过程可以“扔掉”,这是很理想的放缩,具体结果是\(\left| {\frac{{5n{}^3 + n - 4}}{{2{n^3} - 3}}{\text{ - }}\frac{{\text{5}}}{{\text{2}}}} \right| = \frac{{2n + 7}}{{2\left| {2{n^3} - 3} \right|}} = \frac{{2n + 7}}{{2\left| {{n^3} + {n^3} - 3} \right|}} < \frac{{3n}}{{2{n^3}}} = \frac{3}{{2{n^2}}} < \frac{2}{n}\),取\(N = \left[ {\frac{2}{\varepsilon }} \right] + 1\)即可,最后可以放缩得很漂亮。但是\(n<7\)的时候这么放缩就不成立了。不过这个无关紧要,因为前面有限项不影响对数列是否收敛判断。我们可以通过取\(N\)为上面得到的式子和7中较大的来解决这个问题。

证明:\(\forall \varepsilon > 0\),取\(N = \max \left\{ {7,\left[ {\frac{2}{\varepsilon }} \right] + 1} \right\}\)

\(n\geq N\)时,\(\left| {\frac{{5n{}^3 + n - 4}}{{2{n^3} - 3}}{\text{ - }}\frac{{\text{5}}}{{\text{2}}}} \right| = \frac{{2n + 7}}{{2\left| {2{n^3} - 3} \right|}} = \frac{{2n + 7}}{{2\left| {{n^3} + {n^3} - 3} \right|}} < \frac{{3n}}{{2{n^3}}} = \frac{3}{{2{n^2}}} < \frac{2}{n} \leqslant \frac{2}{N} < \varepsilon \)

\(\mathop {\lim }\limits_{n \to \infty } \frac{{5n^3 + n - 4}}{{2{n^3} - 3}} = \frac{5}{2}\)

思路二:利用数列单调有界证明

由单调有界原理,单调有界序列一定收敛。因此,可以通过证明数列单调有界来证明数列收敛。那我们什么时候用这个思路进行证明呢?一般来说,如果数列的单调性和有界性其一是显而易见的,我们只需要证明另外一点就可以说明数列收敛,这时用单调有界证明是可取的思路。用这条思路证明数列收敛,不需要知道极限值,反而往往是先证明数列收敛再令\(n\)趋于无穷大来求极限。另外也不需要知道数列明确的解析式。所以如果数列以递推公式给出,那么往往用这种思路证明数列收敛比较容易。证明数列单调,数列有界一般初等的方法完全可以解决,这里不予赘述。

例4:已知\({a_1} = \sqrt 2 ,{a_n} = \sqrt {{a_{n - 1}} + 2} \),证明数列\(\{a_n\}\)收敛。

分析:并不是所有人都会求这个数列的通项公式。但是我们可以通过证明数列单调有界来证明数列收敛。首先我们能发现数列有上界2,容易使用数学归纳法证明。然后就是证明数列单调了。

证明:先证明\(a_n<2\).首先\(a_1<2\),假设\(a_k<2\),那么\({a_{k + 1}} = \sqrt {{a_k} + 2} < \sqrt {2 + 2} = 2\)

\(\therefore {a_n} < 2\)

再证明数列单调递增。令\(t = \sqrt {{a_n} + 2} ,\sqrt2<t<2\)\(a_n=t^2-2\)

\({a_{n + 1}} - {a_n} = \sqrt {{a_n} + 2} - {a_n} = t - ({t^2} - 2) = - (t + 1)(t - 2) > 0\)

\(\therefore\)数列单调递增

\(\therefore\)数列\(\{a_n\}\)收敛

证明数列收敛以后,我们可以求得数列的极限。

另外,还可以通过证明数列是柯西序列来证明数列收敛,后面级数敛散性经常利用柯西准则判别。由于高等数学要求没有这么高,本文只简单提及这种方法,有兴趣的读者可以自己研究。

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